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 tions étrangères introduites par les points de la courbe enveloppe des obli- 

 ques, qui se trouvent sur U,„. Cette circonstance offre un moyen de déter- 

 miner l'ordre de cette courbe enveloppe. 



» V. La courbe enveloppe des obliques d'une courbe U^ est de tordre 

 3ti + d'. Cherchons à démontrer le théorème IV. 



» Une droite IX coupe U„j en m points a; les obliques de ces points 

 rencontrent U en m points «, d'où l'on abaisse m[m-\-n — i) autres obli- 

 ques; par les pieds a' de ces obliques passent m[m-{-n— i) droites lU. De 

 même, à une droite lU correspondent m[m-\-n~i) droites IX. Il existe 

 donc im[m + n — i) droites IX qui coïncident chacune avec une droite 

 correspondante lU. Mais il existe des solutions étrangères, en nombre 

 N, dues aux points de la courbe enveloppe des oblicpies de U,„ qui se 

 trouvent sur la droite D; car un de ces points a est à l'intersection de 

 deux obliques infiniment voisines, c'est-à-dire, apppartenant à deux 

 points rt, a' de U,„, infiniment voisins, situés sur deux droites IX, lU, qui 

 coïncident donc, à la limite, et donnent une solution étrangère. Il existe 

 donc ainsi N solutions étrangères; et il reste 2 7n(/?z -+- « — i) — N coïn- 

 cidences de IX et lU, donnant les cordes aa' qui passent par le point I. 

 Mais le nombre effectif de ces cordes est simplement sous-double, c'est- 

 à-dire, ^" "' — 5 parce que le point a occupe successivement les 



deux extrémités de chaque corde. Or nous savons (IV) que ce nombre est 



! ^ ; donc N = 3« H- a . c. q. f. d. 



)) VI. Si ion mène de chaquepoint d'une droite les tangentes d'une courbe U,„^ 

 les cordes qui joignent deux à deux les points de contact de ces tangentes enve- 



. . . nlim — 3) — 3/2 — d' 



loppent une courbe de la classe 



)) Démonslralion. — Une droite IX rencontre U,„ en m points a; les tan- 

 gentes en ces points coupent D en m points «, d'où l'on mène m[ji — i) 

 autres tangentes an'; par les points de contact de ces tangentes passent 

 lyi'yri — i) droites lU. De même, à une droite lU correspondent m[n — \) 

 droites IX. Il existe donc 2m[n — i) droites IX qui coïncident chacune 

 avec une droite correspondante lU. Mais il existe ni-\- t' solutions étran- 

 gères, dont m sont dues aux m points a de U„, situés sur D, et t' aux t' tan- 

 gentes d'inflexion de U,„. Il en reste 2m{n— \)~m — t', qui appartiennent, 



, , 2 m ( « — — m — t' , , , • . T T^ 



par couples, a — ^ -; cordes aa passant par le pouit I. Donc 



