( I iSa ) 

 la courbe cherchée est de la classe — ^ -, on 



7.m(n — l) — n — d' n[7,i>i — 3) -•- r/' 



, 



2 2 



parce que m-+- t'=7i-i- d'. c. Q. F. d. 



» On concUit de ce théorème le suivant : 



» VII. Une droile tournant aulour cV un point O renconlre\],„ en m points; 

 les tangentes en ces points se coupent deux à deux sur une courbe de i ordre 

 n{im — 3) — d' 



>) Mil. Si de chaque point d'une droiteT) on mène les tangentes d'une courbe 

 Um, les obliques des points de contact se coupent deux à deux sur une courbe de 



,, , 2.n (m -l- « — i) — 3n — d' 



I ordre — ^— • 



2 



» Démonstration. — D'un point x d'une droite L on mène {ni + 7i), 

 obhques de U„,, en {m + ") points a; les tangentes en ces points coupent D 

 en {m + 7i) points a, d'où l'on mène {m -f- n) {n — \), tangentes aa'; les 

 obliques des points de contact a' coupent L en [m -+- Ji) {71 — i), points u. 

 De même, à un point u correspondent [ni -+- 7i) {71 — i), points x. Il existe 

 donc 2(71 — i) [m -+- 7i), points x qui coïncident chacun avec un point u 

 correspondant. Mais il y a 77i -+- t' solutions étrangères; dont m sont dues 

 aux m points a de U,„ situés sur D, et t' aux t' tangentes d'inllexion de U,„. 



II reste 



■2.[7i — 1) (??^ + 11) — in — t' = 271 (m + « — i) — 3i7i — t' 



= 2 7i {l7l -\- 71— l) — 371 — d'. 



» Chaque coïncidence de x et « entre deux fois dans ce non.' re; de 



1 1. 1 1 ' . 1 I' J 2n [m -\- n — i) — 3n —d' 



sorte que la courbe cherchée est de l ordre — ;^-^ 



» On peut démontrer directement, comme vérification, que la courbe a 

 ce nombre de points sur la droite de l'infini A. i" L'oblique de chaque 

 point a deU,„ sur A, coïncide avec A ; la tangente de ce point rencontre D en 

 ini point a, d'où l'on mène (« — i) tangentes aa' ; les obliques des (?2 — i) 

 points a' coupent A en (« — i) points appartenant à la courbe cherchée; 

 ce qui fait m (« — i) points, à raison des w points de U^ sur A. 2° n tan- 

 gentes de U,„, sont parallèles à D; les obliques des 71 points de contact ont 



donc deux à deux " "" ' > points communs sur A. 3° La courbe U,„ a < tan- 

 gentes doubles qiù donnent lieu à t couples d'obliques parallèles, ayant 



