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donc t points d'intersection à l'infini. 4" Enfin les t' tangentes d'inflexion 

 de U,„, donnent anssi t' points d'intersection de 2 obliques infiniment voi- 

 sines. Le nombre des points de la courbe cherchée, situés à l'infini, est donc 



m (n — 1)4- — ^^ ■ -{- t -h t = ^^ ^ — ^ 



2n(m -h n — i) — 3n — d' 

 = ^ C. Q. F. n, 



» On conclut de ce théorème le suivant : 



» IX. Si de chaque point d'une droiteD on mène tes obliques d'une courbe 

 U,„, les tangentes aux pieds de ces obliques se coupent deux à deux sur une 



I , ,. , o.n{in-\-n — i) — Zn — d' 



courbe de t ordre — ^^ ■ • 



3, 



» Si l'on cherche à démontrer ce théorème directement, on a à tenir 



compte de solutions étrangères dues aux points de la courbe enveloppe des 



obliques de U,„, situés sur la droite D; et le résultat cherché étant connu, 



on en conclut le nombre de ces solutions étrangères, c'est-à-dire l'ordre de 



la courbe enveloppe des obliques, comme nous l'avons déjà fait (V). 



» X. Le nombre des obliques doubles d'une courbe U,,, est—^ ^ — '—. 



' 2 



Nous appelons oblique double une corde aa' qui est oblique, sous un angle 

 donné, en ses deux points a, a', c'est-à-dire, qui fait avec les tangentes en 

 ces points deux angles égaux à un angle donné, comptés dans vui sens de 

 rotation déterminé. 



)) Démonstration. — D'un point x d'une droite L on mène (m -h n) 

 obliques de U,„, en des points a, lesquelles rencontrent cette courbe en 

 [m -i- n) {m — i) points a'; les obliques de ces points coupent L en 

 [m + n) [m — i) points h. D'un point n on mène [m -+■ n) obliques en 

 [m -+- n) points a', d'où l'on mène [m 4- n) {m -+- 71 — 1) autres obliques 

 qui coupent L en [m ■+- n) [ni -f- « — i) points jc. Il y a donc 



(m -f- ?i) [m — i] + [m -f- 7i) [m -\- Ji — i) = [m -+- n) [2m -h ?i — 2) 



points Jc qui coïncident chacun avec un point u correspondant. Mais il y a 

 des solutions étrangères de quatre sortes : 1" ni[m -\- ti — i) sont dues aux 

 m points de U„, sur D; 2° m[m — i), aux m points de U,„ sur la droite de 

 l'infini ; 3° 2/z aux 2?i points de U^ où l'oblique coïncide avec la tangente ; 

 et 4° enfin, d' sont dues aux d' points de rebroussement de U,„. Il reste 



(/// + n) {2m ■+- n — 2) — ?n{ni + ?i — i) 



— m {m — \) — 2n — d' — 7i{2m -\- n — l\) — d'. 



