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 dont chacune a son centre sur une surface quadrique nommée Jocale et 

 coupe orthogonaleinent une sphère fixe, nommée sphère d'inversion, disons 

 la sphère S. Cela étant, en envisageant la focale comme une surface réglée, 

 chaque droite sur la surface donne lieu à une infinité de sphères, qui 

 passent toutes par un même cercle. En supposant que la droite coupe la 

 sphère S aux points O, O', ce cercle est ce que j'appelle Yanlicircle des 

 points O, O', savoir, le plan du cercle est perpendiculaire à la corde 00' 

 au point central M, et le rayon en est égal à iOM (= /O'M), de manière 

 que le cercle est réel ou imaginaire, selon que les points O, O' sont imagi- 

 naires ou réels : toute sphère ayant son centre sur la droite OO', et cou- 

 pant orthogonalement la sphère S, passe par le cercle dont il s'agit, disons 

 le cercle L. On voit sans peine que chaque point du cercle L est situé sur 

 la cyclide. Il y a donc sur la cyclide une série infinie single de cercles L 

 qui correspondent un à une aux directrices de la surface focale; il y a de 

 même une série infinie single de cercles L' qui correspondent un à une aux 

 génératrices de la surface focale. La cyclide est le lieu des cercles de l'une 

 ou l'autre série; chaque cercle de la première série coupe en deux points 

 opposés chaque cercle de l'autre série, mais deux cercles de la même série 

 ne se rencontrent pas 



» Or, en supposant avec M. Casey que la surface focale se réduise à un 

 cône, les deux série? de cercles se réduisent à une seule série de cercles L, 

 dont chacun est situ» sur la sphère, centre le sommet du cône, qui coupe 

 orthogonalement la spaère S, disons la sphère T. On a sur la sphère T la 

 série des cercles L, lesquels ont pour enveloppe luie courbe sphérique, la 

 sphéroquartique de M. Casey. Les points des différents cercles L ne rem- 

 plissent ])as la surface sphérique entière, mais seulement une partie de cette 

 surface, limitée par la courbe sphéroquartique. Cela étant, ou poiu-rait dire 

 que la surface cyclide se réduit à la sphère T deux fois, mais il vaut mieux 

 la considérer comme une cyclide aplatie ayant pour arête la courbe sphé- 

 roquartique. 



» La sphéroquartique, considérée comme courbe sur une sphère T, est 

 doiniée (comme le remarque M. Casey) par une construction tout à fait 

 analogue à celle pour la cyclide comme surface dans l'espace, savoir (en 

 considérant toujours les courbes sphériques sur une même sphère), la 

 sphéroquartique est l'enveloppe des cercles qui ont leurs centres sur une 

 sphéro-conique et qui coupent orthogonalement un cercle fixe. Le cône, 

 sommet le centre de la sphère, qui passe par la sphéroquartique, est de 

 l'ordre 4» avec deux droites doubles (la classe est donc = 8); j'ajoute qu'il 



