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 » Ce résultat intéressant peut s'élablir très-simplement, comme ou va le 



voir. 



» Le système à intégrer est le suivant 



(0 



où 



d^ dJ 



rfU 



fl" dT 



dV 



dt' dq, dq, 



de' dqn dq„ 



T = la^.q^qs, U = ^b^qrq. 



sont des fonctions entières et du second degré des n variables q,,..., q„ 

 (on suppose (7„ = n^r-, brs = ^s;)- I-'^ forme T est définie et positive; enfin 

 le déterminant des quantités rt„ n'est pas nul. 



« On peut, sans altérer la forme du système (i), prendr eponr variables, 

 au lieu de q,,.- ., q,n des fonctions linéaires quelconques q\,...,q'„ de ces 



mêmes variables. En effet, —^i-'-i -j-^ s'exprimeront linéaireuient en fonc- 



dq, <iq^ ' 



, r/T dl tm rfu , . , 



tion de — 5--M -T-' et -r-ri-'-i -r-: sexprmieront de la même manière en 



''-/l (lin '^7. '^1n 



fonction (!e -T-?'- •) -T- • Et il est clair qu'en ajoutant les équations (i) res- 



dq, dq„ l J \ \ I 



pectivement multipliées par des constantes convenables, on en déduira les 



suivantes : 



,^dT_d\} d' dT _ dV 



d dq\ ~ dq\ ' ' de dq\, ~ dqj' 



qui formeront un nouveau système équivalent à (i). 



» Cela posé, ajoutons ensemble les équations (i), respectivement multi- 

 pliées par des indéterminées m^,m^, .... fia fonction Q = h,q, + . . . + h„q„ 

 satisfera à la relation 



si l'on a les relations 



/;,, m, -+-... -h b,„jn„ = ^(rt,, m, + .. . + n,„in„) = ch,, 



/>,„ m, -h ...-h h„„ m„ — a[a,„ m, -h . . . + n„„ m„) = ah„, 



lesquelles exigeront, pour être compatibles, qut* l'on ail la condition 

 bii — a^^c; ... /;,„ — a,„(T 



b„, — a„,<j ... b„„ — a„„G 



» Soit d'ailleurs ç, une racine quelconque de l'équation (4); on déter- 

 incra par les rcl, liions (3) les rapports des quantités w,,..., m„, //,,..., h„. 



(3) 



(4) 



=: o. 



m 



