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» Il est clair que la question de la réduction du système (i) à la forme 

 canonique (7) est identique à ce problème connu : Faire disparaître les 

 rectangles des variables à la fois dans les deux formes quadratiques T et U. On 

 voit, par ce qui précède, que la question peut toujours se résoudre, lors 

 même que l'équation caractéristique dont elle dépend a des racines égales, 

 pourvu que l'une des formes considérées soit définie. Mais, dans le cas des 

 formes indéfinies, il restera parfois un dernier rectangle dont on ne pourra 

 se débarrasser. 



)) Ainsi, par exemple, il est impossible de faire disparaître les rectangles 

 des deux formes 



x/ et xy 4- Mq^. 



Soient, en effet, x' = «jf + ]S/, ;' = -^x + âj les nouvelles variables 

 qui produiraient ce résultat; on aurait 



xj = A{c(X -t- jSjr)' + B(7.r 4- âjY, 

 xj + M/' — C(ax + ^jY + D(7x -t- ùjf. 

 d'où 



A«-+B7= = o, Ap=+BÔ- = o,..., 

 Ca» + D7^=o, C/3= + Dc?^=M,..., 



équations évidemment incompatibles (le déterminant ac? — /B^ ne devant 

 pas être nul). 



» On peut démontrer, par les mêmes princijies, que l'équation (4) a toutes 

 ses racmes réelles. Supposons, en effet, qu'elle eût un couple de racines 

 imaginaires (7, = X + p./, (70 = ). — pi/. On pourrait déterminer un couple 

 de fonctions conjuguées Q, = R + Si, Q2 = R — S/, satisfaisant respecti- 

 vement aux relations 



» Or on peut évidemment supposer que R et S se réduisent respective- 

 ment à (les fonctions de la forme Kr/, + /Sr/j, 771 -I- âq.^. Cela étant, les va- 

 leurs de /?3,..., //„, correspondantes à chacune des deux racines (7,, Cj, 

 seront nulles. On peut aduiettre, d'autre part, que l'on ait choisi 7, et q^, 

 puis Ç3,..., 7„, de manière qu'on ait 



(8) (/jf = (^31 = ••• = ^«1 = ^^32 = ••• = ^«2 = O- • 



Cela posé, les équations (3) donneront ;/r, = . . . = m,, = o, puis 

 (9) i,,, »/z, + /;,2 Wj = o, ..., l>„,m, -h b„2m3 = o. 



