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où R, et Rj désignent les rayons de courbure principaux de (A) au point A. 

 Soient B et C les points où la normale en A à (A) touche les deux nappes 

 (B) et (C) de la développée. Enfin prenons pour axes de coordonnées 

 AX tangente à la ligne [v], AY tangente à la ligne {u) ( t AZ normale en 

 A à (A) 



» Lorsqu'on donne aux paramètres des accroissements du et dv, on passe 

 du point B au point B' sur (B). Désignons par ^ la dislance au point B d'un 

 point M de la normale en B, et par l'angle que le plan tangent en M à 

 la iiormalie déterminée par les deux points B et B' fait avec le plan XAY; 

 ces quantités sont liées entre elles par la relation 



, rfR, , dK, j >, 

 du — h dv — \- duat 



. du dv 



— tango = 



dvbiVi^-ViA + dv^^-du-^i, 



^ ' jdu ' g dv 



» Cette équation et son homologue relative à la nappe (C) déterminent, 

 à elles deux, tout ce qui est relatif à la courbure de la développée. 



» Elles ne contiennent en réalité que les dérivées par rapport k u et v 

 des quantités B.,}{^Jg; mais en tenant compte des éqnations de Codazzi 



, ,,. . dR, ^ dR, , 



on peut eiimuier -r— et — -> car on a par exemple : 



dv gdv a ^ ' ' 



» Il ne reste plus que -r-> — r-» 7— r' t^' Ces deux dernières fonctions 



' ^ du dv Jgdv jgdu 



étant les valeurs des courbures géodésiques des courbes {v) et (m), on peut 

 dire que : 



» Si les iujnes de courbure de deux suifnres tangentes en A ont un contact du 

 troisième ordre, les développées de ces deux surfaces sont osculatriccs. 



» Mais tons les éléments du troisième ordre d'une surface dépindant 

 seulement de ceux des lignes de courbure (comme il résulte des formules 

 de Codazzi), on peut dire que : si deux surfaces tangentes en A ont un contact 

 du troisième ordre, leurs développées sotit osculatrices. Ces deux théorèmes ont 

 été trouvés géométriquement par M. Mannheini. 



» Cherchons comment sont situés les centres de courbure j)rincip;\iix 

 sur les normales à (B) et à (C). Aux centres de courbure principaux, ces 

 plans t.uigeuls sont les mêmes, quels que soient (/« et dv; on doit donc 



