( i4oi ) 

 avoir 



d , clf h , 



— tangS = 



gdv fdu 



» Ces deux équations déterminent les plans principaux et les centres de 



in 



courbure ; mais l'une d'elles ne contient pas -7-^5 et par conséquent s'ap- 

 plique aux développées de toutes les surfaces ayant en A un contact du se- 

 cond ordre; elle exprime une liaison géométrique entre la position d'un 

 centre de courbure et la direction du plan tangent en ce point. On peut 

 déterminer ces deux éléments à l'aide d'une droite passant par le centre de 

 courbure et contenue dans le plan tangent; pour la déterminer nous l'as- 

 sujettirons à rencontrer la normale en C. 

 » Les équations de cette droite sont 



Z + R, R R, . Z -4- R, sds' a^ ' '' 



— ■? — taneS = — — -^ 



)) En éliminant le paramètre £, on trouve 



_R^ dff , y B. ^y , ,_„ 



z + R, fgdn "^ Z -(- R, yg- dv "^ ' 



équation d'un paraboloïde qui s'applique aussi bien à la nappe (C) qu'à 

 la nappe (B). Dès lors on peut énoncer la proposition suivante : 



» Soit M un centre de courbure principal de (B) et m le point oii le plan tan- 

 gent en M à la développée de (B) rencontre la normale en C à (C); le lieu des 

 droites telles cpie M m pour toutes les surfaces ayant en A un contact du second 

 ordre est un paraboloïde. Les deux paraboloïdcs relatifs aux nappes (B) et (C) 

 coïncident. 



» La section de ce paraboloïde par le plan ZAX se compose des droites 



Z + R,= o, ^ + x/Ç + i = o, 



c'est-à-dire de la normale à (B) en B et de l'axe de courbure de la ligne (u). 



» Ces propriétés intéressantes ont été établies géométriquement par 

 M. Mannheim [Comptes rendus, 12 février 1872). 



» Il est essentiel de remarquer que le paraboloïde en question ne déter- 

 mine pas tous les éléments du second ordre de la développée, tandis que 

 les équations générales des normalies à (B) et (C) permettent de traiter 



c. R., 1872, l" Semestre. (T. LXXIV, K" 22.) I ^3 



