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tous ]es problèmes où n'entrent que ces éléments. Je vais en donner quel- 

 ques exemples. 



n Equations des lujnes de courbure. — Si l'on suit une ligne de courbure 

 de (B) la normalie est développable, tangS est indépendante de ^, d'où 



résulte 



, rfR, , rfR, 



an — h do — — 



du dv a du 



rfKè(R,- R,) dg df 



dv — du -— 



fdu gdv 



Dans quel cas les lignes de courbure se correspondent-elles sur les deux 

 nappes (B) et (C)? Il faut que les deux équations de ces lignes relatives à 

 (B) et (C) soient identiques en du et dv\ on en conclut facilement que 



Rj — R, = K : 



les deux rayons de courbure principaux de {A) ont une différence constante. 



)) Si l'on veut que les lignes de courbure de (B) et de (C) correspondent 

 à deux systèmes conjugués de (A), on trouve que te rapport des deux rayons 

 de courbure principaux de (A) doit êlre coustnut. 



» Equation des lignes conjwjuées. — Soient deux directions déterminées 

 par (/udi> et du' dv' conjuguées entre elles, le plan tangent en C à la seconde 

 normalie est le plan central de la première. En exprimant cette condition, 

 il vient 



dv.dv' T-f- -7- + du.dii! ~ -—^ = o. 



fdu dv gdv du 



qui est l'expression cherchée. 



» Si l'on veut qu'iui réseau conjugué sur (B) corresponde toujours à un 

 réseau conjugué sur (C), il faut que les rayons de courbure principaux R, 

 et R2 soient fonction l'un de l'autre; on en déduit celte conséquence inté- 

 ressante : 



» Les asjmploliques des deux nappes {'B) ef(C) se correspondent lorsque les 

 rayons de courbure de (A) sont fonctions l'un de l'autre. On sait que dans ce 

 cas les nappes (B) et (C) sont applicables sur des surfaces de révolution. 



» Si l'on suppose que (A) soit une surface du second degré, le ds^ étant 

 mis sous la forme 



ds 



= i'^' - ^') l,^S^^L^) 'i^' + (.S;^-.) ^^'^'} 



l'équation des asymptoliques devient 



+. 



(^'—b'){l,'—c') ~^- {v'—b'){v'—c') 



