( 1446 ) 



cette expression se réduit à 



dx- + (Ij^ + dz" = Q{\\dh- + Rf/A-), 

 ce qui fait voir que la surface est divisible en carrés par les courbes 



^ = const., Â: = const. 



» Les équations donnent aussi 



= o: 



et, cela étant, l'équation différentielle des courbes de courbure se réduit, 

 comme je vais le montrer, à dhdk = o; on a donc h = const., k = const. 

 pour les équations des courbes de courbure de la surface. 



» Pour cela, en considérant x^j^ z comme des fonctions données de h,k^ 

 j'écris, comme à l'ordinaire, 



dh ^^ dk 



a 



= a, 



d'^x 



d-:. 



= a , 



= a 



dh' "' dhdk " ' dk' 



et de même b, b' , /3, ^', /3", et c, c', y, 7', 7" pour les coefficients différen- 

 tiels de y et z respectivement. J'écris aussi 



A = bc' — b'c, B = ca' — c'a, C = ab' — a'b, 



E = a- -h a'^ -h a"-, F = aa' -h bb' -f- cc\ G = a'" h- b'^ 4- c'^. 



» L'équation différentielle des courbes de courbure est 



dx, dy, dz 

 A, B, C =0. 

 dA, r/B, de 



Le premier terme de ce déterminant est dx[BdC — CdB), savoir : 



[adh+a'dk) \ B[{afi'-boc' + b'(/-a' ^)dk+ {a^"-ba"-hb'a'-a^j')dk] 



-C[{ca'-ay-ha'y-c'ûL)dh-+- {ca" -af+a'i - c'a')dk] \ , 

 ce qui se réduit tout de suite à 



{adh + a'dk) \ [a(Aa' + B/3' + Cy') - a'[\a + B/3 + C-i)]dh 



- [a(A«"H- Bp" + Cy") - «'(Aa' + 6,3' + Ci)]dk\ ; 



