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 principaux de courbure de la surface, et X, j7., v leurs cosinus de direction. 



on a : 



dx dl d.r d\ 



(^) d;.-^d;: 7î^ = ^'T^' 



et des formules analogues pour j et z, « et /3 étant les paramètres des lignes 

 de courbure. En écrivant la condition d'intégrabilité de chaque couple 



1, , • / \ • 11- . d\ d\ 



d équation (2), puis multipliant tour a tour par — et par —, et prenant 



cliaque fois les sommes symétriques, on obtient ces autres relations con- 

 nues : 



(3) (R-R,)^ + A- = o, (R-R,)--A- = o, 



f/V d^' dt-- ^ dV du} dv' 



OU 



A-= , , , . _ 



da' doC- do} f/p^ d^-' df 



Enfin, on a la relation de Lamé, relative à toute courbe sphérique : 



d l \ d\\ d [ i d\ 



D'un autre côté, la comparaison de(i) et (a) fournit 



RA=:/, R,V=m, 



ce qui, par l'élimination de R et R,, transforme les équations (3) dans 



,£,, \ dl I dl I d\ i dm 



^ ' Vl^ ~ m dy llh. ~ 7 d^' 



E' équation (4) devient, par suite, 



(6) AV==57, 



en faisant, pour abréger, 



_ d I i dm \ d j i dl \ 



Si l'on pose, en outre, 



de sorte que 



I dl I dm 



w ^ ~ ^' l'7û~f' 



dp dq 



^ = ;^ + rfp' 



