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Fia force correspondante à la position m, laquelle a pour composantes X, 

 Y, Z, suivant les axes coordonnés; 



N la réaction normale exercée en outre par la courbe AB; 

 i et i' les angles infiniment peu différents que les éléments m'm,m"m 

 font avec la force F, ou avec la normale à la surface nn. 



U m' m 



» Si l'intégrale fU ds est un minimum, la somme de ses deux éléments 

 [U + d\J)inin" doit elle-même être minimum, sans quoi une 



simple modification du parcours 

 m' m" permettrait de diminuer la 

 somme totale; on en déduit immé- 

 diatement, comme dans la solution 

 bien connue du problème de mini- 

 mum de Fermât : i° que le plan os- 

 cillateur m' mm" doit être normal en 

 m à la surface un, car autrement on 

 ' pourrait diminuer à la fois m' m et 



mm", sans changer t) et U + c/U 

 dans l'expression précédente; 2° qu'il 

 faut remplir en outre la condition 



U sin/ = (U + du) sini' 



exprimant que la différentielle de la même expression est nulle quand m 

 varie sur l'intersection de ce plan osculateur avec nn. D'ailleurs /' — i n'est 



autre que l'angle de contingence — ; donc 



Usin/ = (U -4- ^U)sin|i 

 ou, toute réduction faite, 



= (U -h du 



J)(^sin/^-^' 



COSl ]■> 



dV 

 ~ds 



sm/ 



Ucos/ 

 = o. 



P 



Or les équations du mouvement donnent, la masse du point étant prise 

 pour unité, 



i>di> 

 COS. = ^.' 



N — Fsitif 



donc on a, par substitution de ces valeurs, 



-r-sm? + ^— r (N — Fsinn — o, 



