( '567 ) 

 » Adoptoiis maintenant des coordonnées polaires, et posons 



z = rcosô, y = rsinô : 

 l'équation (7) devient alors 



(8) ,'dO = ^ds. 



On a, d'autre part, ds- = dt- + r'dô'^, et conséquemment, par l'élirai- 

 nation de ds au moyen de l'équalion (8), 



dr' -h r'dû^ ^^de'; donc dO = , ^^'" , 



ou enfin 



(q) e = C l '^'' -+- const. 



J^xV'r' — C 



» On se rappelle que U désigne une fonction connue de v, et par le 

 théorème des forces vives on connaît f en fonction de r : l'équation (9) est 

 donc, moyennant une quadrature à effectuer, l'équation polaire de la courbe 

 demandée. 



» Observation. — Il est assez remarquable que nous ayons pu traiter les deux applications 

 précédentes et en donner une solution îi peu près complète sans rien supposer sur la forme 



de la fonction U. Or quand on fait U ;= i» ou U = -■> le problème que nous avons résolu 



revient à chercher soit la trajectoire d'un point libre (en vertu du princi|)e de la moindre 

 action), soit sa brachistochrone : donc, dans le cas de la pesanteur ou d'une force centrale, la 

 détermination de la trajectoire d'un point libre, celle de sa brachistochrone, ou encore celle de 



la courbe rendant minimum l'intégrale | Ur/.t du produit de l'élément de chemin par une fonc- 

 tion quelconque de la vitesse, sont des problèmes réductibles à des quadratures au moyen 

 de procédés identiques. Leur difficulté, sous ce rapport, est la même, et les différences ne peu- 

 vent porter que sur le degré de complication des quadratures à effectuer, ou sur la détermi- 

 nation des constantes arbitraires. » 



MÉCANIQUE CÉLESTE. — Sur les mouvements relatijs à la surface de la Terre. 

 Note de M. F. Tisserand, présentée par M. Delaunay. 



» Considérons le mouvement d'un corps pesant mobile autour de son 

 centre de gravité, et en tenant compte seulement de la force centrifuge 

 composée. Prenons pour axes fixes l'axe de la Terre, et deux axes ox., oj, 

 situés dans le plan de l'Equateur, de façon que l'ascension droite du point j- 

 surpasse celle de x de 90°; soient o.r,, oj,, oz, les axes principaux d'inertie 



204.. 



