6 DE VARIAS FORMULAS NOVAS 



as quaes mudam (£) em 



í'enpp' = (p_^p'y — p'j^ysen X Y + {j,^^p\^-p\^p^) sm'YZ + {pJ^ — p'^pJ sci\'ZX 

 —''^(l\/,—p\/,)(P.P'^—p',Pj COS Z sen YZ sen ZX "\ 



— ^(P,P'^-P'^PJ(P^P',J—P'J\) cos X sen AT sen -YZ s. . . . (£') 



— 2(jB p' — p' p)(p p' — p' p) cos }' sen AT sen YZ 1 



E se designarmos por A, B, C as projecções obliquas do parallelogrammo pp' 

 sobre os três planos YZ, ZX, X Y, será 



sen pp'=A + b\ C — 2ifi cos Z— 2BC cos A— 2 CA cos 7 (F) 



8. Se multiplicarmos por f todos os termos da equação precedente, e re- 

 presentarmos o triangulo formado por pp', e as suas projecções obliquas sobre 

 os três planos por 



yz ZX xy 



sera 



t = t -\-t -\-t —2 1 t cos Z— 2í t cos A— 2/ t cos F. 



yzzxxy yzzx xz xy ■''V yz 



A propriedade, que representa a equação precedente em relação ao trian- 

 gulo pp', cujos lados p, p' tem a grandeza i, subsistiria para qualquer grandeza 

 d'esses lados, o que equivaleria a multiplicar essa equação por p. p'. 



9. D"essa propriedade, correspondente a um triangulo qualquer, conclue-se 

 facilmente um iheorema análogo para qualquer polvgono. 



Teremos pois em relação a uma área qualquer S, e ás suas projecções obli- 

 quas nos três planos, a seguinte equação 



sL:s' 4-s' +s' — 2S S cosZ— 2S S cosA— 2S S cos r (G) 



yz ' ZX xy yz zx zx xy xy yz 



10. Esta formula, que pôde exprimir a relação entre um binário e os seus 

 três componentes em planos coordenados oblíquos, resulta imraediatamente de 



