10 DE VARIAS FORMULAS NOVAS 



Semelhantemente teremos 



K=s,en YZ (2L) + sen'zX (23/) + sen'.Y F (XiV)" 



— 2I.L1M sen YZ sen ZX cos Z 



— 2:iL2iV sen }'Z sen XF cos Y 



— 2^ Ml N sen YX sen A'Z cos X. 



18. Os três ângulos, que o eixo de A' faz com os eixos coordenados, são, 

 como vimos precedentemente, dados pelas equações 



cos KX=^~I.L: cos KY=f^~lM; cos KX=^I.N, 

 K Á A 



formulas, que apenas differem das relativas aos eixos coordenados rectangula- 

 res, em que, para estes, é //=!. 



19. Seja para um systema de eixos oblíquos O A"', O Y, 071, designado por 

 //' o parallelipipedo determinado pelas três grandezas respectivamente tomadas 

 sobre esses eixos d^y = c'=\\ teremos sempre a relação 



^ = a' /y d —a' b' c' +«' 6' c' —a' b' c' +rt' b' c' —a' V d . . . . (L) 



ti X y z X : y y z x y x z z x y z y x ' 



Esta formula é conhecida no caso de serem rectangulares os eixos O A', OY, 

 OZ, na qual hypothese é H=i. 



As formulas (A) conduzir-nos-hão directamente á demonstração da equação 

 (L). Com effeito o seu segundo membro equivale a 



o' (b' d —b' c' ) + fl' (b' d —b' d )4-a' (V d —b' d ). 



x^ y z z y' ' y^ z X x z z^ x y y x' 



que, em vista das equações (i), e representando por iVa normal ao plano YZ', 

 se muda em 



— ^— (a'^ cos (iV, A) + «'^ cos {N, Y)-^a!^ cos (A^ Z)), 



isto é 



sen YZ' , , ^^^ sen Y Z' sen (A', Y Z') H' 

 — jp- cos (a', !¥)= j^ ' = -, 



como se pretendia demonstrar. 



