A , A,... representando quantidades constantes, e determinar estas cons- 

 tantes. Na impossibilidade de resolver este problema com toda a genera- 

 lidade, tíem os geómetras considerado os casos particulares que, ou por 

 stia simplicidade ou por sua importancia ñas applicacoes da Analyse á Geo- 

 metría, d Mecánica e á Physica, teciu merecido preferencia. Assim foi 

 considerado o caso de í), (:<), &,, (x),... representarem potencias inteiras de 

 urna funcjao, o caso de estas funceocs serem os senos ou os cosenos de 

 múltiplos successivos do arco .t, o caso de estas funcvoes representarem 

 potencias inteiras, positivas ou negativas, de muitos binomios da forma 

 X — a, X — b..., etc. Cada urna d 'estas questóes exige bastante espafo para 

 ser tratada de unía maneira completa; porisso aqui limitar-nos-hemos a tra- 

 tar da primeira, isto é, do desenvolvimento das func9oes em serie ordena- 

 da segundo as violencias inteiras de uma funcyao dada. 



Principiando pelo caso mais simples, consideraremos primeiramente os 

 dcsenvolvimentos ordenados segundo as potencias inteiras e positivas de 

 uma variavel independente, tanto no caso d'esta variavel ser real como no 

 caso de ser imaginaria, expondo os differentes methodos empregados pelos 

 geómetras para resolver esta questao. Assim estudarenios primeiramente o 

 methodo, appresentado por J. Bernoulli e Taylor e completado por Lagran- 

 ge e Cauchy, para o desenvolvimento das funccoes de variaveis reaes; de- 

 pois a extensño d'este methodo, esboeada por Cauchy e completada por 

 Darboux, ao caso das fuucyóes de variaveis imaginarias. Em seguida, con- 

 tinuando o estudo de desenvolvimento das funcjoes das variaveis imagi- 

 narias e considerando a questao n'um ponto de vista menos elementar, ex- 

 poremos o methodo de Cauchy, fundado na theoria dos integraes curvilí- 

 neos, o methodo de Riemann, fundado na theoria das funccoes harmóni- 

 cas, e finalmente o methodo de Weierstrass, fundado na theoria das series 

 inteiras. Cada um d 'estes methodos éo objecto principal de um dos pri- 

 meiros cinco capítulos. 



O desenvolvimento das fuuc55es em serie ordenada segundo as poten- 

 cias inteiras, positivas e negativas, é tambem considerado. A formula dada, 



