o iniíneiro geómetra que den, poréiu, urna formula assaz geral para o 

 desenvolvimento das fiuiC(;oes em serie, foi Joáo Bernoiilli, que publicoii 

 cm 1694, ñas Acta crudifonim , um artigo em que apresentou a formula 

 scguinte (Veja-se Opera onni/a, t. i, p. 125): 



/F{.r) ch-=.rF(.r) - 1 X'- F' (.r) + ~ .v--F"{.r) 



de que fez algumas applicaeucs a fuucyoes particulares, a qual elle tirou da 

 idcntidade evidente 



F(.r) dx = [F(x) + xF' (.r)) dx — y (2,/.-i'^'(.r) + x'F"(x)) dx 



+ ¿ {3-r:'-F"(x)+x-'F"'(x)) dx-... 



- 1.2. ..{» — !) (*" ~" ^' -í'"-'^^'"-" W + .c"-^F<--^Hx)] dx 



j.n — 1 



+ 1.2...(w— 1) ^ '•""•'' 



integrando ambos os menibros, pondo /? = x, e determinando a constante 

 arbitraria, introduzida pela iutegrayáo, pela condiyao de ser nuUo o integral 

 f F{x) d X, quando .>• = 0. 



Analysando esta demonstracao, vé-se que a conclusao tirada pelo cele- 

 bre geómetra 6 demasiadamente lata, e que o que se pode af firmar é qne 

 este desenvolvimento teiu logar todas as vezes que a quantidade 



(— l)"-i 



\..-2...(n — l)J ^ ''^'' 



tende para zero, quando a tende para o infinito. Assim modificada, é esta 

 demonstracao ainda hoje empregada. 



3. A serie de Bernoulli, que vimos de considerar, nao está ordenada 

 segundo as potencias da variavel. O primeiro geómetra que apresentou 

 uma formula, que dá immediatamente o desenvolvimento das funcgoes em 



