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A demonstra^-ao que jncccde teni, entre outros inconvenientes, o de 

 n'ella se suppñr estabelecida antecipadameute a possibilidade de a fiinc- 

 jao ser desenvolvida em serie ordenada segundo as potencias inteiras e po- 

 sitivas da varia vel. 



5. O inconveniente que vimos de notar na deiuonstra^ao de Maclaurin 

 tem-o tambem a demonslrayao que Lagrange deu da formula de Taylor 

 n'uma memoria apresentada em 1772 á Academia das Sciencias de Berlin 

 (Oeuvres, t. iii, p. 441). Parte, com effeito, da igualdade 



fi.r + h) = f{x) + A/i + Blr + Clr + ..., 



A, B, C, ... representando fnncyoes de .r que pretende determinar, e, para 

 isso, muda n'estc desenvolvimento x em x -\-l e. h em h-\-l, o que o leva 

 a dois desenvolvimentos, que devem ser idénticos, e que dao, pelo methodo 

 dos coefficientes indeterminados, as quantidades B, C, ... Achad'este modo 



que, pondo por dcfinijáo A = f (x), vem B^ — /" "(.r), C= ~ — — f"'(x),etc. 



Foi porém este grande geómetra o primeiro que recouheceu o papel 

 fundamental da formula de Taylor na Analyse, e o que deu os primeiros 

 passos para o estudo das condigóes para o desenvolvimento das func96es 

 pela serie de Taylor, apresentando na sua Tliéorie des fonctions analyti- 

 ques, publicada em 1797, a formula seguinte: 



(1) /•(.r+^)=/-(.r)+/^r(x)+...+ ^J'^^^^^^ r-'w+i?,,, 



onde é 



(2) ^"=T£r^"^-'+^^^''' 



9 representando uma func9áo desconhecida de n, cajo valor está compre- 

 hendido entre ü e 1. Quando i?„ tende para O, para n ^ 03, a serie de 

 Taylor tem logar; no caso contrario nao tem logar. 



6. Para demonstrar a formula anterior apresentou Lagrange dous me- 



