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thodos, dos quaes vamos dar urna ideia succinta, empregando, para simpli- 

 ficar a exposii;áo do primeiro, as iiotayóes do Calculo integral. 



O primeiro methodo foi publicado na Théorie des fonctions analyti- 

 ques (Oiivres, t. ix, p. 69). 



Pondo 



f{x + h) = f(x -i-h- /^í) -f- /n /•' (X + /; - Irx) 



esta iguaklade determina urna funcyáo Pdc ,r e x, que é nulla quando ^ ^ 0. 

 Derivando os seus dous membros relativamente a x, vem 



o que dá 



1 . 2 ... (n - 1) 



r x''~'r(.r-J¡-h—hx)dx. 



Pondo agora x = 1, obtem-se a formula (1) com a seguinte expressao 

 do resto i?,,: 



Temos assim urna expressao do resto da serie de Taylor por meio de 

 um integral definido. 



Para d'esta expressao de i¿„ tirar a formula (2), demonstra Lagrange 

 um thcorenia que coincide no fundo com um caso particular do theorema 

 hoje conhecido pelo nóme áe primeiro theorema dos valores medios dos in- 

 tegraes definidos. Applicando-o ao integral que entra na expressao de i2„, 

 suppondo para isso que a funcyáo /"" (.r -\- h — h \)é continua no intervallo 

 de X = O a ;. = 1 , vem 



/ ^''- ' f" [x 4- h — hx)dx = — /■" (X -\-h — h'h), 



