— 11 — 



V representando urna quantidade comprehendida entre O e 1. Pondo agora 

 1 — ^' =0, temos finalmente 



^A.= 1 o" ,. /•"(-'■ + ^^^^)> 



se a func^ao /'" (.r) fór continna no iutervallo (./•, .r-\-li). 



7. A segunda demonstrayáo dada por Lagrange das formulas (1) e (_') 

 foi publicada ñas suas Lcrons sur le calcul des fonctions (Oeuvres, t. x, 

 p. 85). Esta demonstrayáo, mais simples e directa do (jue a anterior, é fun- 

 dada no theorema de Calculo differencial , segundo o qual as funcyóes cres- 

 cem com as variaveis, quando as suas derivadas de prinieira ordem sao 

 positivas, c decrescem, quando estas derivadas sao negativas. 

 Consideremos a serie de expressóes 



f-ix-{-h')-L, 



f—'(x-]-h') — r-'{-r) — Lh', 



p-'-^.r: + /,') _ /•"-^ (x) - /•"-' (X) h' - L -^, 



t\x+h')-f{x)-f'{x)h'-...-r-H.r: ''"^ 



1.2...(n — 1) 1.2...W 



Todas estas e.xpressoes sao nullas quando é /?' = O, exceptuando a primei- 

 ra, e cada unía d 'ellas é a derivada da seguinte relativamente a //; appli- 

 cando, pois, o theorema que vimos de recordar, vé-se que, se a primeira 

 tiver um signal constante quando // varia desde O até h, todas as outras 

 téni este mesmo signal quando h é positivo, e o signal contrario quando h é 

 negativo. Representando, pois, por M e N o maior e o menor dos valores 

 que toma f{x -\- li) quando h' varia desde O até h, e dando á L os valores 

 M e ^V, temos as desigualdades 



