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quando li é positivo, e as desigualdades coutrarias, quando h é negativo. 

 Em ambos os casos, tira-se d'estas desigualdades a igualdade seguinte: 



f(x + h) = f(x) + hf'{:r) + ...+ , /'" ' ,/ /-"-'W ' ^'^'" 



1.2... {n - 1) ' '•^' ^1.2... n ' 



K representando urna quantidade nem superior a M, nem inferior a N. 



Suppondo agora que a func5ao /■" (,r) é continua no intervallo de o- a 

 x-\-h, deve existir um numero a-,, coniprehendido entre x ex-j-h, tal que 

 esta func5ao toma o valor A' quando x = x^ ('). Como a este numero se 

 pode dar a forma j-j-O/?, O representando urna quantidade comprehendida 

 entre O e 1 , temos 



K=f"(x-{-H/i). 



Substituindo este valor de A' na formula anterior, véem as formu- 

 las (1) c (2). 



8. Cauchy, no tomo i, pagina 29, dos seus Exerdces de Matkématiqíies, 

 publicados em 1826 (Ocnvres, t. vi da 2." serie), deu urna nova demonstra- 

 §áo das formulas (1) e (2), e partindo de um caso particular d'estas for- 

 mulas, apresentou em seguida luiia nova expressao do resto R,^, mais pro- 

 pria para o estado do desenvolvimento em serie de algumas func9óes. 



Applicando, com effcito, ¡í func(;ao de x. 



? (^) = /'(•'• + h) — f[x) - (X + h -x)f' (í) 

 a formula 



(') Este principio, considerado por Lagrange como evidente, foi mais 

 tarde demonstrado por Cauchy no seu Cours d'Analyse. 



