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que resulta das formulas (1) e (2) poudo n' ellas n= 1, e attendendo á 

 ignaldade 



' ^ ' í.2...(n — l) ' ^ '' 



.{,1-1} 

 obtem a formula de Taylor 



(1) /•(x+/o=A-')+/'/"(')+-+-f7¿^;J^r-'(.r)+A„ 

 com a expressao do resto 



9. A expressao do resto, que vimos de achar, foi objecto de urna ob- 

 servagao interessante de Pringsheim (Malhoiiaiische An)ialen, t. 44), 

 Mostrou, com effeito, este geómetra que, apcsar de 9 ser func9ao de n, é 

 condÍ9áo necessaria para que a serie que resulta de (1) pondo « = ce cou- 

 virja para a func^ao f {x), que esta expressao de i?„, considerada como 

 funccclo de duas variareis independentes ^ e n, tenda para O, quando n 

 tende para o infinito e 9 varia entre O e 1. Conclue-se d'aqui que o co- 

 nhecimento da func9ao B nada adiantaria a resolu^áo do problema que tem 

 por fim desenvolver f (jc) em serie. A demoustrayao d'este theorema, que 

 nao será dada aqui, pode vér-se no trabalho de Pringsheim já citado e n'u- 

 ma nota de E. Pascal, publicada na Rivista di Maiematica (Roma, 1895). 



10. As expressoes do resto da serie de Taylor de vidas á Lagrange e 

 Cauchy sao casos particulares de urna expressao muito geral, dada por 

 Schlomilch primeiramente no seu Haudbnch der Differentialrechnuncf, 

 publicado em 1847-1848, e em seguida n'um artigo publicado no Journal 

 deLiouville (2.^ serie, t. iii), que obteve por meio da igualdade, devida á 

 Cauchy, 



A' (x) representando uma funeyáo que nao seja nuUa no intervallo de j? a 

 X + //. 



