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 AppHcando, com effeito, CíBta ignaldade á func^ao considerada no n.° 8 



c {X) = f(X + //) - /(>.:) -{x-{-h- ■^) f (X) 



1 ir-X-h — xV~' 



-|(x+/.-.rr(^)— ■-^^■..(/-i) ^""''^'' 



vem o resultado 



(1) f[.c+h)=f{x)-\-hr{.r)-\-...+ ^ ,/'_"¡^i) /•"-'(^•)+-R... 



^^ ^ ^^" 1.2...(«— 1) • ^'{x+U) ' ^^^'"''• 



Pondo 



ii{x) = {x-\-h-xy\ 



vem para J?„ a expressao 



•^■"' ^-= 1 2.,..ll), /"'^ + '""' 



a qual, seni ter tido outros usos que nao teuham as formulas de Lagrange 

 e Cauchy, tem todavía a vantagem de as contér a ambas, correspondendo 

 uma a jü = /i e a outra a jj = 1 . 



A formula (2") foi tambem obtida por Roche, partindo da expressao 

 de i?„ por meio de nm integral definido, anteriormente achada (n.° 6), (Jour- 

 nal de Liourille, 2.^ serie, t. iii). 



11. Ñas demonstrajóes das formulas (1) e (2), dadas por Lagrange, 

 suppoz-se que a func^áo /"' {x) é continua no intervallo de a:" a ;r -|- //. A 

 mesma hypothese se é obrigado a fazer na demonstragao das formulas (1) 

 e {2'"), dada no n." anterior, quando se adopta, para estabelecer a igualda- 

 de {'^), a demonstragao que deu Cauchy d'esta formula, pois que n'ella o 

 illustre geómetra suppoe que tp' (;) e <]>' (i) sao func9Óes continuas de x 

 no intervallo de ,r a x-\-h. O. Bonnet porém, dando uma nova demons- 

 trayáo da igualdade (3), que só exige que as funcjoes »'(«) e \' [x) sejam 

 finitas e determinadas no intervallo considerado, permittiu que se esten- 

 dessem as formulas (1) e (2'") ao caso de f" (í) ser discontinua, se toda- 



