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via for finita e deteí-minada no ¡ntervallo {,v , .r -\- h). Seja F {:) urna 

 fuucvao (lue atlmitte unía derivada 7'" (;) llnita e determinada, no in- 

 tervallo de ; = a a ■. =«-)-/?, e que 6 nnlla nos extremos d'este inter- 

 vailo. Quantlo i varia desde a até a-\-h, a funcíao J'(v) deve principiar 

 por crescer (eui valor absoluto), para depois decrescer; porisso e por ser 

 continua, deve, no intervallo considerado, passar por iim máximo on por 

 um mininio negativo ('). Deve, pois, existir um inimero x, tal que seja 

 F' (í) = O, quando ; =: .r, , e a este numero, que deve estar comprehendido 

 entre .r e .r -\- h, pode dar-se a forma ,r, == .r -(- O h (onde O < O < 1). 



O theorema que vimos de demonstrar é conhecido pelo nome de iheo- 

 rema de Rolle, por ter sido dado por este geómetra para o caso particular 

 das func9oes inteiras. Para tirar d'elle a formula (3) basta por 



Fi.) = , (.) - , (.) - [-1 (.) - ^ (.)] |^±|^. 



A funcyao F {\) é nuUa nos pontos x = x e \=x -\- li; logo temos a 

 igualdade 



.■.^,,^-,.,,,+,.^,i |g+;¡-|M ^,, 



da (jual se tira a formula (3), quando (]/'(*) é differente de O no intervallo 

 ■X ^ X & x=^x -\- h. 



12. Viu-se nos dous números anteriores que a formula de Taylor, 

 com a expressao do resto dada por Schlomilch, pode ser deduzida do 

 theorema de Rolle por intermedio da formula (3). Hommessham Cox, 

 n'um artigo publicado no t. vi do Catiibridí/e and Dublin Malheniatical 

 Journal, tirou-a directamente d'este theorema, applicando-o á func^áo 



F(x) =-f{x + h)+f(x)^ {X + h-x) r {X) 



+ 1 (- + ^» - ^r- f" (-0 + ... + - '^+'¡;:!;7)' ^"- ' ^^^ 



o A existencia d'este máximo ou mínimo negativo, que O. Bonnet consl- 

 derava evidente, foi rigorosamente demonstrada por Weierstrass. (Vejase, 

 por exemplo, o t. i do nosso Curso de Analyge). 



