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— X- - — X- 



que tende para e~~ e nao para c -\- e ^"" . Só qiiando o resto de 



urna serie, obtida pela formula de Taylor, tender para O quando n tende 

 para co , d que podemos affirmar ((ue a serie tem para somma a func^áo. 

 Esta circumstancia mostra claramente a necessidade que ha de considerar 

 o resto no deseuvolvimento das func<,'ijes em serie. 



Os geómetras que prinieiro empregaram a serie de Taylor nao faziam 

 esta discussáo do resto, nem inesmo attendiam, na maior parte das vezas, á 

 questño da convergencia das síries (jue empregavam. Muitos resultados 

 verdadeiros foram mesmo obtidos pela serie de Taylor em circumstancias 

 ein (jue esta serie era divergente. Analysando poréra o methodo empregado 

 para os deduzir, vé-se que o emprcgo que faziam da serie de Taylor equiva- 

 lía ao emprego da formula 



/■(/ + h) = f(T) + hf (^1 + - + , T „ f" (^) + T^ 



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em questoes em que nao era necessario conhecer s. 



1 7. Por nieio da formula de Taylor, com as expressoes do resto dadas 

 por Lagrange e Caucliy, tem-se adiado o desenvolvimento em serie de 

 algumas funcgoes importantes. A diftlciildade que se encontra porém geral- 

 niente em verificarse o resto ií„ tende ou nao para O, quando n tende para 

 o infinito, limitarla consideravelmente o uso da serie de Taylor, se Cauchy, 

 fundando-se em metliodos de natureza mais elevada, nao tivesse dado o 

 meio de evitar esta discussáo, tirando a possibilidade do desenvolvimento 

 da considerayáo immediata da funcjáo. Vamos deduzir o theorema célebre 

 que Cauchy deu para este fim, empregando para isso primeiramente o me- 

 thodo por elle seguido, depois o methodo proposto por Riemann, e final- 

 mente o methodo empregado por Weierstrass. Porém, antes d'isso, vamos, 

 conservando-nos ainda no ponto de vista elementar, estender ao caso das 

 func95es de variaveis complexas o theorema de Taylor e as expressoes do 

 resto obtidas n'este capitulo. 



