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Supponhamos agora que as derivadas de o (o) e '| (p) até á ordem n — 1 

 sfio millas (jiiando p = 0. As formulas (1) c (2'") no n.° 10 mostram que é, 

 n'este caso 



Ycm portanto 



F(.,)= ^ ., ^¡„|),^ [(1^0,)"-''," (0,p)+/(l - íí _.)»-'' ¿" (f), p)]. 



Applicando agora esta formula á func<;rio 



j^- (T) = /-W- [/-(O) + ^7' (") + -+ 1.2IV-1) /'""'"^1' 



cujas derivadas até á ordem n — 1 sao nulias quando p ^ O, vem a fornui- 

 la pedida: 



(1) /•u')=/-(0)+a'r(0)+...+ 1 _2!."(J-i) /'""''o)+-^"' 



^"^T .2...(»-l)jJ "~'^''""''^"''''^^ + ''^'"''-'"~'''^"^''-' 



Cauchy punha 7* = 1, mas, como se vé, o seu methodo é applicavel 

 íjualquer que seja j]. 



19. A'expressao de 7',,, que vimos de adiar, pode dar-se urna forma 

 mais propria para a sua applicacáo ao desenvolvimento das func^oes em 

 serie. Para isso, basta notar que, por ser F" {.r) z=f'^(x\ temos, repre- 

 sentando por,/', e .i\ os valores de :r cujos módulos sao 'í,p e 0. p, 



.c» /■« (j-,) = p" c'"'- F" (,r,) = p" [-i» (O, p) -f ?•-!;« (e, p)j, 

 X" f" (xj = p" e" ''^ F" (r,) = p" [*" (fJ, p) -f i'}'' (O, p)]. 



