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Liouville (t. II da 3.'^ serie), apresentou Darboux urna expressáo do resto 

 da serie de Taylor, no caso das funcfoes de variaveis complexas, mais 

 simples do que a precedente e que é a verdadeira extensáo das formulas 

 dadas no capitulo anterior. 



Para achar esta expressáo fundou-se o eminente geómetra no seguin- 

 te lemma geométrico : 



Se um ponto M descreve urna recta AB, variando sempre no mesmo 

 sentido, e se um ponto m está ligado com ilf de modo que, quando il/ des- 

 creve esta recta, o ponto m descreve a curva acb, existe pelo menos urna 



_ ds . . 



posiyiio d 'estes pontos onde a rasao — — da differencial do comprimeuto 



do arco da curva para a differencial do comprimento da recta é igual ou 



, ab 



maior do que , ,, . 

 AB 



Se fosso, com effeito, para todas as posÍ9oes dos pontos considerados 



ds ab 



< 



da ^ AB' 



teriamos, representando por p, e p.^ os valoi'es que toma p nos pontos A 

 e B, 



P'' ds ^ ab í'^' 



7 ií'^<-abJ ^?' 



e portanto 



are acb < ab, 



o que é absurdo. 



22. Posto isto, sejam 



duas funccoes de urna variavel complexa z, continuas em todos os pontos 

 de urna recta que une o ponto correspondente a j ao ponto correspondente 

 a .»■ ~\~/t, c supponhamos que, quando z percorre esta recta, Xt -\- i F, per- 



