— 29 — 

 1) Se o modulo p de ,c é menor do que :i unidade, a quantidadc 



k(k-l)...ik-n-\-l) „ 

 1.2... (» — 1) ° 



tende, como é sabido, para O quando ii tende para o infinito. Além d'isso é 

 1 — 9 



1 + 6j- 



]_--í = 1—9 ^ 



\ l-|-9=f- -)-29pcosa) ^ 1 — 9p 



Logo E,i tende para O quando ii tende para ce, e o binomio conside- 

 rado pode ser desenvolvido em serie ordenada segundo as potencias de x 

 pela formula 



(i+..)'=i+'r '''^-';-;";° + " .-. 



(1 = 1 1 . - ... a 



2) Se o módulo p é maior do que a unidade, a serie precedente é di- 

 vergente. 



O estudo do caso em que p é igual á uuidade nao será aqui feito. A 

 respeito d'elle pode consultar-se a memoria de Abel sobre o binomio 

 (Oeuvres, t. i) ou ainda os trabalhos de Mansión anteriormente citados. 



Deve-se observar que, no caso de k ser um numero fraccionario ou um 

 numero in-acional, a func9áo (I -■)- .r)* tem muitos ramos. A serie ante- 

 rior dá o desenvolvimento do ramo que se reduz á unidade quando ,/■ = 0. 

 Para adiar o desenvolvimento dos outros ramos basta attender a que estáo 

 todos comprehendidos na expressfio l'' il -|-.r)*, onde se deve substi- 

 tuir J* pelos seus diversos valores e 1 1 -f- .n'' pelo desenvolvimento que 

 vimos de achar. 



