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D'esta (]efini(;rio resulta immediatatncnte que, se a curva S fAr des- 

 cripta no sentido DCBA, contrario ao precedente, o integral ao longo 

 d'esta curva conserva o mcsmo valor absoluto e muda de signal. 



Posto isto, vamos demonstrar o theorema fundamental, devido a 

 Cauchy: 



Se na dira Un/ i finia por urna curra fechada ABO{ñg. 3.") as func- 



(■<7es (f (.c, y), -L (¿c, y), —7^, —^ foron, continitas B 



e tircr loaar a coiidicdo —~- = —~- , o integral 



dy d.v 



de -i (./', //) dx -f- '} {.v,y) dy, tomado ao huyo da 

 curva considerada, é millo. 



A demonstracáo que Cauchy den d'este theo- 

 rema é fundada nos principios do Calculo das va- 

 riacOes. Mais tarde Riemann deu outra demons- 

 trayáo do mesmo theorema, fundada n'um theo- 

 rema importante de G. Green, que adiante sera 

 estabelecido. Aqui vamos apresentar uma deuions- 

 tracMO mais directa e que é fundada nos principios mais elementares do 

 Calculo integral. 



Consideremos primeiramente urna área ABC D (fig. 4.') limitada por 

 uma recta AD parallela ao eixo das or- 

 denadas, pelas rectas AB e, DCparalle- 

 las ao eixo das abscissas e por uma linha 

 recta ou curva BC, e sejam 



X = /", (s), y = f, (s) 



Fig. 3.a 



D 



Fig. ifl 



as equacOes da linha ABC {f¡ e f, repre- 

 sentando uma funcyáo ao longo áe AB 

 e outra fune(;áo ao longo de BC,e s representando o comprimento dos ar- 

 cos d'esta linha, contados a partir do ponto ^) e s, o valor que toma s no 

 ponto C. 



Integrar a expressáo ce (x, y) d x -(- A (x, y) dy ao longo de A BC en- 

 tre os pontos A e C, cujas coordenadas sao {pc„, y„) e {x^, i/,), é procurar 



