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Podemos pois ennimciur o theorema seguinte: 



Se a funcrao f(z) fúr synectica na área A, limitada por itina curva 

 fechada, o intec/ral de fix) dx, tomado no longo do contorno da área, é 

 nidio. 



Este theorema, publicado por Caiichy em 1825 na sua Memoria céle- 

 bre sobre os integraes tomados entre limites imaginarios, atraz citada, é a 

 base dos trabalhos d'este eminente geómetra sobre a theoria das funccóes 

 de variaveis complexas. Entre os corollarios que d'elle se deduzem nota- 

 remos os seguintes, de que teremos de fazer uso: 



1.° Se a funcrao fix) fúr synectica na área limitada por ama curra 

 c.rfcrior S e pelas curvas interiores c,,c^, ... , temos 



r fix)dx= I' f,,ul:-{- /' f(x}dx-\-... 

 '-^S '-'c, •''c, 



os contornos S, c , , c^ ,... sendo descripios iodos no mcsmo sentido. 



Com effeito, o contorno fechado ifig. 6.") ELGDEBAHABFE li- 

 mita urna área na qual a funccño é sy- 

 nectica; logo o theorema precedente é 

 applicavel, e temos, representando por 

 \f {El)), (DGD), etc., os integraes de 

 f(i)dx tomados ao longo de ED, D GD, 

 etc. 



Fig. 6." 



{ED)-^(D6D)-}-{DE)-\-{EB)-^{BA) 

 + {AHA) + lAB) + )BFE) = 0. 



Mas 



{ED)=—(DE), (BA) 



(AB). 



T^ogo temos 



{DGD) -f {EB) + {AHA) + {BEE) = O, 



ou 



{EFBE) = {T)GD)-\-{A HA). 

 u que deniouslra o theorema eunuuciado. 



