- 40 

 Temos porérn (números 28 e 29) 



Logo é 



fuv> = fm) + ,.,• -«I /•',«, + ... + ^I:^=g^/'«-i ,«, + i».,, 



onde 



_ (x — a)» Z' f\z)dz 



' " ~~ 2 ^^^ ,./¿, (.2 — «)" (2; — «) ■ 



Temos assim a fonmila de Taylor com urna expressáo do resto da 

 qual Cauchy deduziii, na sua importante Mémoire sur le Calcul des residuo 

 d le Calcul (les liniiles ('), apresentada em 1831 á Academia de Turin, o 

 seguinte theorema, que constitue uma das suas mais bellas descobertas: 



Se a fimcrao f(z) é sijnectica na área limitada por urna circiunferen- 

 cia, cajo centro c o ponto correspondente aa,e se x representa um ponto 

 qualquer do interior d'esta área, tem logar o desenvolvimento em serie 



f(x) = f[a) + {X — a) f'(a) + ... + \'' ^^ "^" f»- (a) + , 



Snpponliamos, com effeito, que S representa uma circumferencia cujo 

 centro é o ponto correspondente a a. Para todos os pontos z do contorno e 

 para todos os pontos x do interior, tem u'este caso logar a desigualdade 



I ^ — « I < I -z — a\. 



(') Exercices d'AHahjse et de r/iijsique niathématique, t. ii . p. 50. 



