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Por outra parte, da desigualdade seguinte, que resulta iuuncdiatairiente 

 da no(,'ao de integral definido, 



= 1 

 < 9t- 



X 



.i' — a 

 z — a 



f{Z) 



Z — X 



dz 



deduz-se, notando ([ue é \dz\^\/ d,r¡' -\- di/,^ = ds (pondo z = .i\-^iy,) 



fíz) 

 e representando por 31 o maior valor que toma ~ , quando z des- 



creve a circumfercncia .S", e por c, o valor que toma z no ponto de S mais 

 próximo do correspondente a a, 



B„ 



< 



S3I 



2t. 



a- — a " 



Basta attender agora a que é | .r — a | < | 2:, — a\ para concluir que 

 I B„ I tende para O quando )i tende para o infinito, e portanto que f(x) pode 

 ser desenvolvida pela serie de Taylor. 



31. Nao nos occuparemos aqui a deduzir as consequencias importan- 

 tes que se tiram d'cste theorema neiii a mostrar o papel fundamental que 

 elle representa na theoria geral das funcyoes ( ' ). Faremos sómente excep- 

 gáo para o principio seguinte, porque teremos de fazer d'elle uso adiante. 



Seja f{.r) ama func5áo synectica na área ^4 limitada por um contorno S, 

 e procuremos o numero de raizes que a equajáo /"(./■) = O tem no interior 

 d'este contorno. 



Sejam a, b, c, ... estas raizes e m, n, ... os seus graos de multiplicida- 

 de, e rcprescntem-se por iS', S" , etc. circuniferencias cujos centros sejam 

 os pontos correspondentes a a, h,... e cujos raios sejam táo pequeños que 

 ellas nao cortem o contorno S e cada uma contenha no interior só urna 



raíz. 



(') Para um estudo desenvolvido da theoria geral das funcgoes'moiioge- 

 neas pode consultar-se , entre outras obras , a seguinte : A. R. Forsyth , Theo- 

 ry of Fiinctions of a complex variable , London, 18i>3. 



