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Para vc-r como por este methodo, proposto por Riemaan ('), se obtem 

 a formula de Taylor e o thcorema de Canchy demonstrado no n.° 30, va- 

 mos estudar algumas propriedades das fiinc^oes harmónicas das quaes te- 

 remos de fazer uso (■). 



84. Para estudar as propriedades das fimc(,'(jes que satisfazem íís 

 equa9óes (2) fundou-se Riemann n'imi theorema importante, publicado em 

 1828 por G. Grecn, que varaos primeiramcnte demonstrar. 



Consideremos o integral duplo seguinte, referido a urna íírea A limitada 

 por urna curva que nao possa ser cortada em mais de dous pontos pelas 

 rectas parallelas aos ei.xos das coordenadas: 



/ / fi.r,y>d.rdy= I 



'^ 'Ja ' 'a 



f{x,y)dx, 



Fig. 7.» 



onde .r, = íl, (i/), .i\_ = 9^ (¿/) sao as equa- 

 yOes (fig. 7.=") dos arcos MQP e MNP da. 

 curva, que limita A, e a, b sao as ordena- 

 das dos pontos J\I e P, onde as ordenadas 

 sao miuima e máxima; e seja 



I fi.r,yHl.r = F{.r,y>-\-C, 



C representando urna constante arbitaria. 

 Teremos 



/ / í>-r,ytd.vdy= I F(.i\_,y)dy— I Fix^,y)dy. 



( ' ) Grundlagen für eine aUgemeine Theorie der Functionen einer veriinder- 

 lichen coniplexen Grosse, 1851. 



(-) Para um estudo mais completo das fnnccSes liavmonicas vejase Pi- 

 caro, Traite d' Anali/xe , t. ii, 1892. 



