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E'íacil poivmde vít qiiecadalinhas,,s,, ... (• descripta duas vezes,uuia 

 em cada sentido, quando sao descriptos os contornos de duas áreas separa- 

 das por esta linha; portanto, a cada parcella da somma 2 / f{^, y) '/¿/ cor- 



responde outra ignal e de signal contrario, esta somma é nulla e temos 



/ / f{oi:,y)dxdy = Z I F(cc,y)dy= / F{x,y)dy. 

 ■' -'a •-'Si '-'s 



35. As formulas [a) e (h) sao as formulas de Green, que pretendíamos 

 achar. Antes de as applicar ao estudo das func95es harmónicas, observa- 

 remos que Riemann tirou d' ellas o theorema de Cauchy demonstrado no 



n.'^ 26, applicando-as ás funcgSes -j- e -^. Vem, com effeito, 



/ f -r^dj-dy= I 'hi.r,y)d)i, I / ^d.rdy=— / 'f(.r;y)d.r, 

 J Ja ^^-^ ' ''s ' ' • ' '\-i -I ''s 



e portante 



/ / i^~^~(h')'^^'^^^ / ['f ''■'■^•*'^•■^ + 'í''^•'^'2')'^2/]• 



Basta attender agora a ijue as func§5es u e A consideradas no n." 26 sa- 

 tisfazem por hypothese a condicáo -~ = -j^, para se ohter a igualdade 



/ [^{x,y)dx-\-'\i{x,y)dy] = 0, 



•J c 



que pretendíamos demonstrar. 



36. Passando agora ao estudo das func95es harmónicas, vamos prime- 

 ramente achar, fundados ñas formulas de Green, uma expressáo d'estas 

 func9oes por meio de um integral curvilíneo. 



