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 Soja Miioni /i',, o resto da serie (/;), isto ó, scja 



^''» = 2 in I rf,„ I p 



ni -I 



Por ser convergente a serie considerada, a cada valor de o, por mais 

 pequeño que seja, corresponde uní numero «, tal que tí \ R„\ •< o, quan- 

 do w >■ » , . 



Mas os termos da serie 



00 



(C) 2 l>t('m ?'" ' ^^''^ '"'f! 



«1 = 1 



(pie é formada pelas derivadas relativamente a [¡ dos termos da priineira 

 das series (a), sao inferiores em valor absoluto aos termos corresponden- 

 tes da serie [b], quando é p -< p,, qualquer que seja ;:. Logo temos a des- 

 igualdade 



I 2 «m «¿p"'~' eos /MCp 1 -< S, 

 m = n 



para w> )í,, a qual mostra que a serie (c) é uniformemente convergente 

 para todos os valores de s e p correspondentes aos pontos do circulo de 

 raio p,. 



Basta agora applicar um theorema bem conhecido, relativo áderivayao 

 das series, para ver que tem logar a igualdade 



dF * ,„_, 



— ^— ^ 2 «m»«P COSHÍtp. 



rfp m = l 



Do mesmo modo se demonstra a igualdade 



(IJ^ í m n._l 



— ; — = — >, a mo ' sen m-i. 



do ,„ = i 



A segunda das series (n) pode ser considerada do mesmo modo e ob- 

 téem-se resultados análogos. 



