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Temos pois o theorema de Cauchy já demonstrado no n." 30: 



A funccóo f (z) c siisceptivcl de ser desenvolvida em serie ordenada se- 



gimdo as potencias inteiras e positivas de z, quando z representa um ponto 



qualíjuer do interior do circulo de raio E. no qual é synectica. 



43. Para completar esta questao, resta ainda determinar, seguindo o 



mesmo methodo, os coefficientes do desenvolvimento precedente. Para isso, 



vamos considerar as series da forma 



f\{z)^=ii^-\- iv^= V a,„p'" (eos >M!i -[~ ' sen í«'i), 



oo 



¡\. [z) = «., -\-Jv., = — i 2 !'„,?'" (eos m-f-\- /sen ni's), 



m = 1 



que cstao ñas condicóes das series que entrain na formula anterior, isto é 

 que sao convergentes para todos os valores de i e p que sao coordenadas 

 polares dos pontos de um circulo de raio B. 



Temos, attendendo ás formulas (10) do n.° anterior, 



du ^ _ 



— -i-= y /;m„,p"'-'cos(/« — l)tp, 



U X ¡n = 1 



dv '^ 



—j-^^ S ?«a„,p"'~' sen (?« — 1) '^, 



CtX in = 1 



dit ^■ 



— r-^ = — 2 "í«mp'" 'seu(in — 1) o, 

 a !j m ~ 1 



dv '^■' 



-—-!-= V nia,„ñ"' ' eos (■/« — 1) 'i. 

 dij „, = i 



Vé-se pois que as igualdades (1) sao satisfeitas pela func5áo u, -\- ir,, 

 e portanto que esta func^áo é monogenea. A sua derivada relativamente 

 a. z é pois dada (n.° 27) pela formula 



d.r di 



= 2 IX (I ,,1?'" '[cos(m — l)tt-|-/sen(//i — l)'f]^ 2 nta„,z"' '; 



7a = 1 m~i 



