— 66 — 

 47. Se urna serie 



", + "= + '«-. + •••' 



cujos termos sao funcjoes de urna variavel x, é convergente para todos os 

 valores de x representados pelos pontos de nma área A, para cada valor 

 de a; o resto 



-"'/I = ^' « + 1 1 ^' ¡i + - ~r ••• 



tende para zero quando n tende para o infinito. A cada valor que se dé á 

 qiiantidade positiva o corresponde pois um numero «, tal que é | i?„ | < S, 

 quando n > ll^. Se este numero é o mesmo para todos os valores de x con- 

 siderados, a serie diz-se uniformemente convergente na área A. 



Posto isto, temos o theorema seguinte: 



Se a serie 



«ü + », " + «o w' + - + ff„ "" + -. 



onde u representa urna funcf-uo de x, fúr convergente quando I u | < R, 

 esta serie é imiformemente convergente na área A que representa os valo- 

 res de X que tornain | u | <; p, f representando qualquer numero positivo 

 inferior a R. 



Com effeito, por ser a serie proposta absolutamente convergente quan- 

 do ' í¿ ] ^ p (n.° 45), a cada valor da quantidadc positiva o corresponde um 

 numero n^ tal que é 



l«»+.lp"+'+l««^-Jp"^^ + -<s, 



quando n > »,. 



Temos porém, para todos os valores de x representados pelos pontos 

 da área A, 



|i?„ 1 = 1 «,..,«" + ' + «„..,«"+"- + ... I 



^ l«,.+ . I I «!'"''+ I «n^. |híi" + ^ + ... 



