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series ordenadas segundo as potencias inieiras de x, convergentes dentro 

 do mesmo annel: 



j /•„ ix) = A.!"' 4- A /"' .V + .4;"' x^- + ... + aJ"^ X"- + ... 



(2) 



) -^Aj"\r~'-^Aj"^x-^^...^A_. 



i"! -m I 

 , ,/ -p ... 



a fnnccao f (x) será tatnbem snsceptivel de ser desenvolvida eni serie orde- 

 nada segundo as potencias de x: 



j f(x) = A„ + A^ X + .L .r^- + ... + A,„ x"' + ... 

 (3J 



e será 



ÍA„. = Aj°' + Af' + ...-^A„r + ... 

 (4) j 



Este theorema representa um papel importante na theoria das funcfoes 

 analyticas. E' devido a Weierstrass, assim como a demonstrajáo que vamos 

 dar d'elle ('). 



Seja p urna quantidade positiva tal que J2' ■< p •< 2?; por ser unifor- 

 memente convergente a serie (1) na circumferencia de raio p, a cada valor 

 da quantidade positiva 3, por mais pequeño que seja, corresponderá um 

 numero h, tal que as desigualdades 



l/'»4-.(-^)+/n..(íí^) + - I <Y^ 



I /„-p- , (.'-■) + fn-^p+, (a') + ... I <Y"-' 



seráo satisfeitas por todos oí valores de » superiores a /i, e por todos os va- 

 lores de .<• que téem o módulo p, qualquer (jue seja p; logo a desigualdade 



I /„+ , í^-) + /■«+. (■'■) + - + /•„ + ,, W i < s 



será satisfeita pelos mesmos valores de n e x. 



(') Monatsbericht der Kon. Akademie de Wissenschaften zii Berlin (18«0). 



