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tcm logar para todos os valores de x cujo iikhIuIo ostíí comprehendido en- 

 tre f, e Pj. Como p, e p^ sao táo próximos de R e R' quanto se queira, 

 ve-se que a igualdadc anterior tem logar para todos os valores de ,r repre- 

 sentados pelos pontos do annel limitado pelas circunferencias de raio R c R' 

 e com o centro na origem das coordenadas. 



No que precede pode ser R' = O, e entao o annel circular, que vimos 

 de considerar, reduz-se a um circulo de raio igual a R. ív 'este caso os de- 

 senvolvimentos (2) e (3) nao contéem potencias negativas de .r. 



50. Antes de entrar no assumpto que forma o objecto principal d'estc 

 capitulo, demonstraremos finalmente as proposigoes seguintes: 



1.° A somma e o producto de fimcroes regulares, na vesinhanra do 

 ¡loiito n, Silo regulares na resinhanra do mesnto ponto. 



Com effeito, se as funcfoes f(.r) é F[x) sao regulares na vesinhanca 

 do ponto a , temos , para valores sufficientemente pequeños de | .r — a\, 



f(.r) = a, + «, (.r — a) -\- «, (x — af -\- ..., 

 F{.r) = /)„ + />, (./• — a) + Ik (x — af + ...; 



e d'estas igualdades tiram-se, eni virtude de theoremas bem conhecidos 

 relativos ás opera9óes sobre series, as igualdades seguintes: 



f{.r)-^F(.T) = a,.±h„-\-{a,±l>j(-'-~")-\-(a.±h,){.>- — ar-]-... 

 f(.r)F(.r) = a„b„-\-{aJ),~\-a,b^,)(.i- — a)-\-(aJ),-\-a,b^-{-a,b,){x — af-\-... 



que téem logar para os mesmos valores de | ^ — « |. 



2." A func(ao [f (.r)]'^ e tatnbem regular na vesinlianfa do ponto a, 

 qualquer que seja o valor de i [a], no caso de k ser inteiro e positivo, c 

 quando i {a) é differente de xero, nos outros casos. 



O caso de k representar um numero inteiro positivo já foi considerado, 

 visto que n'este caso f/ (x)]'"' representa um producto de factores. 



Nos outros casos temos, suppondo a„ = f(a) differente de zero, 



[f(xrf = «„ [i + -^ (-r - «) + ""; (^' - aY + •••]' 



= «„[l+P(.r-<, 



