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.siiltiido da forma 



A + A , (.r - rt) + .1, {x - af + ..., 



o que demoDstra o theorcma enunciado. 



51. Postas estas proposifoes relativas ás series inteiras, vamos agora 

 deduzir a serie de Taijlor e demonstrar o thcorema de CdKclnj relativo ao 

 raio de convergencia d'esta serie. 

 Se a serie 



1 1 1 /•{•?•) = «„ \- ", (■'• - (') + o. (./■ — ar + ... + n„ (./• - «)" + - 



for convergente no interior de urna circuniferenda de centi'o a e raio R, 

 isto r qiiatido | x — a | . c R, e .se x„ representar um ponto do interior d'esta 

 circianferencia, a funcrüo f (x) admitte nina derivada finita no ponto x^ e 

 esta derivada é dada pela serie 



f '(■'■„)= i «a„(.r„ -«)"-', 



n = l 



cajos termos se forma»/ derivando os termos da serie proposta. 

 Em segundo logar temos 



f(-r) = f(.v„) + {X - .r„) r i-rj + ... + -yf^^ f" (-^..l + - 



e este desenvohimoito tcm logar para todos os valores de x qite satisfaxein 

 á condi(do 



I -^M — « \-\-\ x — x„\ <B, 



isto é, para todos os valores de x representados pelos pontos de um circtdv 

 de centro x„ contido no interior da circumferencia de raio R. 

 Com effeito, pondo na serie proposta x = .r„ -(- h, temos 



7Í=0 



