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Esta sóvie, considerada como funccao de k, é uniformemente conver- 

 gente quando \x„-\-h — a\ <i2, cu ¿i fortiori. quando é |x„ — «|-|-j/¿| <i?. 

 Desenvolvendo pois os binomios que n'ella entram e ordenando o resultado 

 segundo as potencias de h, temos (n.° 49) 



/■(.r,, + h) = f(.T„) + hf^ (.r„) + Irf, (.r,.) + ... 



onde é 



/;(•'■„)= S r> a„ (■>■„ — ar, 



n = l 



Pondo agora h = x — a;„, vem 



com a condigno \x„ — ff ] + | ./; — x„ i << E. 



Para d'estas formulas tirar o theorema enunciado, basta notar que a 

 ultima dá, passando /'(.f„) para o primeiro membro, dividindo depois os 

 dons membros por .r — .r„ e fazeudo finalmente tender x — x„ para zero, 

 /i (■'''.i) = /' (-í^ii)' Basta em seguida notar que cada urna das funcjoes 



se deduz da anterior como f {x„) se deduz de /'(.r„), para ver (pie é 



/;(^J =/"(.'■„), fAx.) = f"'[-r.„),... 



52. Se a funcrcio f (x) for reyular no interior de ama circúmferencia 

 de centro a, o desenvolvimento 



f(.r) = fia) + (.r — a) f (rr) + ^ {-v — af f" (a) + ... 



