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tem logar para todos os valores de x representados pelos pontos do inte 

 rior d 'esta circumferencia. 



Esta proposicao coincide com o theo- 

 rema de Cauchy, demoustrado no n.° 30, e 

 pode ser demonstrada do modo seguinte. 

 (Fig. 10.) 



Seja (c) a circumferencia considerada. 

 Por ser regular a funccao /' (.r) na vesi- 

 nhanca do ponto a (ao qual corresponde 

 o centro A da circumferencia) existe uma Fig. lo. 



circumferencia (c,), de ralo i,, tal que é, em toda a área que ella limita, 



(1) f(x) = fia) + (.V — a) f [a) + -y (.r - af f" [á) + ... 



Por ser tambem regular a mesma funccao na vesinhanca do valor h 

 de X, correspondente ao ponto B interior a (c,), existe uma circumferen- 

 cia (<*,), de centro B e raio p, , tal que é, em toda a área que ella limita, x' 

 representando um ponto qualquer d'esta área, 



f[^') = /V') + (-i-' - b] /■' ib) +\{x'- br f" (h) + ... 



Representando porém por L o máximo val6r de | f(x') | na circumfe- 

 rencia de raio igual a | x' — b \ e centro b, temos, applicando o theorema 

 demonstrado no n.° 48, 



1 



1.2... tu 



r(b) 



x' — b I'" < L. 



Notando que é 



e applicando outra vez o theorema do n.° 48 á f unc9áo 



^ n{n-l)...(n-m + l] ^^ __ ^^„_,„ ^^, _ ^^,„ ^^^.^^ 

 ■^ 1 .2 ...n Xl -2 ... ni 



