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Continuanclo do niesmo niódo, obtem-se uiua serie ?|-)-?o-f-p--(- o, -(-... 

 cuja sonima li representa o raio de convergeneia da serio (1). 



Demonstrado assim que o segundo membro de (1) ó convergente no in- 

 terior da- circumferencia de raio R, resta demonstrar que coincide cora f(x) 

 em toda esta íírea. 



Para isso, representemos por a (.r) a differenya entre /"(.r) o a aéric que 

 entra no segundo membro de (1), e notemos em primeiro logar que 6, por 

 hypothese, -^ (,r) ^ O no circulo (c,). 



Tomando um ponto b u'este circulo, tao próximo quanto se queira da 

 sua circumferencia, temos a igualdade (n." 50 — 1.°) 



o (,r) = o (¿) + (X - h) 'J [h) + 1 (,r - hf c." (¿) + . .. ; 



mas, por h pertenecer ao circulo (c,), é ti (¿) = O, ti' {jn) = O, ...; logo te- 

 mos 9 (íc) ^ O em todos os pontos da área d'este segundo circulo, que é 

 em parte destincta da anterior. 



Continuando do mesmo modo até considerar toda a área do circulo de 

 raio R , ve-se que 'i (.r) é nulla em toda esta área, e portanto que a igual- 

 dade (1) tem logar para todos os valores de x representados pelos pontos 

 d'esta área. 



53. A demonstracao da formula de Lmireiit por meio das proprieda- 

 des das series inteiras foi duda por Mittag-Leffler ñas Memorias da So- 

 ciedade das Sciencias de Lihje (2.'' serie, t. xi) e no tomo iv das Ada vta- 

 thematica. Para expor esta demonstracao sao necessarias algumas notas 

 preleminares que vamos appresentar. 



Sejam x Q y duas variaveis complexas ligadas pela relacáo 



."-^w- 1 [(§)"+(!)"]■ 



onde n representa um numero inteiro positivo e R um numero positivo. E' 

 em primeiro logar uecessario procurar qual é a área que, no plano de re- 

 presentafáo dos y, corresponde a uma área ^4, limitada pelas circumferen- 



cias de raio i? (1 -I- o) e -- — r — , com os centros na origem das coordena- 



