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des Sciences de Saint-Pétersbourg. 



S06 



4 



(1 = 

 |X=1 



Faisant successivement i> =^ 5 , 13 et 17, on ob- 

 tient les trois équations suivantes: 



■rA 



5B 







p — 5 



se réduit 



.Ey2.13 = 3-H5 = 8, 



à cause de ce que la limite supérieure 

 à séro pour ^ = 5 ; 



l3'A-t-13B-i-C=EVn 



l7^A-t-nB-^C=EVl7-i-EV27Y7-^-EV37[T- 



= 4-t-5-i-7= IG. 

 De ces trois équations on déduit 



A = 



B 



1 



2 ' 



n _± 



12 ' ■^ 2 ' 12 ' 



résultats identiques avec ceux de la formule (1). 



Je ne vois pas comment on pourrait justifier à priori 

 la légitimité de la forme Ap^ -+- Bp -i- G des expres- 

 sions des trois sommes en question pour p premier 

 égal à 4n -t- 1 . Cela me paraît d'autant plus embar- 

 rassant que, pour des nombres composés 4/L--+- 1 , nos 

 formules deviennent illusoires dans la plupart des cas ; 

 en voici des exemples: 



Et d'abord, il est facile de voir que nos formules 

 sont illusoires pour les nombres composés de la forme 

 4h -H 1 divisibles par 3. Ainsi, par exemple, pour 

 p= Q, la formule (4) donne le nombre fractionnaire 

 45-, tandis que la vraie valeur de la somm^ 



EV^-^EVJ^ -+- EVJ79 ~i-. . . -^^ EVsTd 

 est 46. 



La formule (1), pour le nombre composé 25, donne 

 40, tandis que la vraie valeur de la somme 



EV25 

 est 41. 



Mais il arrive aussi que la même formule (1), ap- 

 pliquée à des nombres composés^ conduit néanmoins h 

 des résultats exacts. Ainsi, pour ^3 ■■= 65 := 5 . 1 3, on 

 trouve pour la somme 



(Ji = l.'5 



2 EVJb^, 



- ijy 2 . 2 5 + Ey 3 . 2 5 -.- EV 4 . 2 5 -H i?l/5725 



calculée soit directement, soit par la formule (1), le 

 nombre exact 320. 



Il serait intéressant de soumettre à l'examen la 

 question générale des modules composés p , dont je 

 viens de donner quelques exemples numériques. 



Je terminerai ce f^ Article en donnant plus de 

 généralité à la formule (4) sous le rapport de sa 

 limite supérieure [j-, que je supposerai égale à k^p, 

 k représentant un entier positif quelconque; je ferai 

 voir que l'on a 



"^^^EVn^ = ^[^^V-3^^-i)p-^^] ... .(5) 

 IJ.=1 



Après ce qui a été déjà dit relativement à la dé- 

 duction des formules (1) et (3), il sera très facile 

 d'établir cette nouvelle. 



Procédant comme plus haut avec les équations (2), 

 propres et impropres^ il se présentera quelques cir- 

 constances que nous allons indiquer. Et d'abord, il 

 est visible que le nombre total des équations (2) sera 

 égal à k^p\ cela étant, la racine du carré qui entre 

 dans la dernière des équations (2) sera égale à 



EV'^p = EVU^p . p = kp; 



par conséquent le nombre des équations propres sera 

 kp, et celui des équations impropres J^p — kp. Obser- 

 vons de plus que dans la série des kp équations propres 

 il s'en trouve k sans dernier terme, nommément 



p .p — if = 0, 

 AV-P — {2pf = 0, 

 9p. p — {3pf = 0, 



r-p.p — {kpf = 0, 



en sorte que la totalité des équations trinômes propres 

 sera 



kp — k = k (p — 1) 



2k 



P-i 



Il est aisé de voir, que tous les 2k 



derniers 



termes qui appartiennent à ces équations trinômes, 

 sont des résidus quadratiques de p, formant 2k groupes, 



dont chacun contient tous les ^^~j— résidus différents 

 entr'eux; par conséquent la somme de tous les der- 

 niers termes de nos équations sera 



