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Bulletin de r/%cadëniie liiipëriale 



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Sur des surfaces de 2'"", 3'"" et du 4°"" ordre. Par 

 J. S. Vanècek. (Lu le 23 novembre 1882.) 



1. Dans une note «6W un mode de transformalion 

 des figures dans Ves])ace» présentée à l'Académie des 

 Sciences^) j'ai démontré le théorème suivant: 



Quand un tétraèdre polaire par rapport à une sur- 

 face du second ordre se meut de telle manière que ses 

 trois sommets l, m, p parcourent res^yectivement ■mie 

 surface L d'' ordre l, une courbe M d^ ordre m et une 

 surface P d^ ordre p , son qucdrième sommet r engendre 

 une surface B qui est d'ordre 4lmp. 



La transformation par rayons vecteurs réciproques 

 est un cas très-particulier de ma transformation: c'est- 

 à-dire il faut prendre la courbe M comme une droite 

 située dans la surface /' qui est un plan à l'infini. 



Dans la note présente je vais montrer l'application 

 de la transformation générale dans quelques cas par- 

 ticuliers. 



2. Considérons une surface F du 2""°" ordre comme 

 surface fondamentale, puis un plan L qui doit être 

 transformé par rapport à un plan P, dans lequel se 

 trouve une droite Jf , qui perce la surface fondamen- 

 tale aux points «, i. 



La surface dérivée du plan L se décompose en deux 

 parties, c'est-à-dire en deux plans A, B tangents aux 

 points a, h kVà surface fondamentale et en une sur- 

 face R du 2™' ordre. Cette surface passe par les deux 

 coniques L, F qui sont respectivement les courbes 

 d'intersection des plans Z, P avec la surface F; puis 

 par les pôles /, j) de ces plans. 



Nous trouvons la nature de cette surface U comme 

 il suit. Le plan à l'infini se transforme en une sur- 

 face U du 2™" ordi'e semblable et semblablement pla- 

 cée à la surface fondamentale ; elle passe par la 

 courbe P. De la position du i)lan L vers la surface U 

 et la conique P dépend la nature de la surface B. 

 Supposons que la surface F est un ellipsoïde. 



Quand le plan L ne coupe pas la surface U, la sur- 

 face dérivée B est un ellipsoïde. 



Si le plan L touche la surface U, la surface B est 

 un paraholdidc elliptique. 



Quand L coupe la surface U en une courbe réelle 

 et la conique P eu des points imaginaires, la surface B 

 est un hyperboldide à deux nappes. 



1) Comptes rendus, tome XCIV. 



Le plan L coupe la surface U et la courbe P réel- 

 lement, alors la surface dérivée B est un hyperholdide 

 à une nappe. 



Au cas que les points d'intersection du plan L avec 

 la courbe P se réunissent, la surface B devient une 

 surface conique. 



La surface fondamentale F étant un ])\ perboloïde 

 à une nappe, la surface auxiliaire U est de même de 

 cette espèce. Quand le plan L touclie la surface U, la 

 surface dérivée B est un paraboloïde Ju/perbolique. 



3. Supposons que L est une surface gauche du 

 2™° ordre et que les autres conditions de la transfor- 

 mation restent les mêmes comme dans le § précédent. 



La surface dérivée se décompose en deux plans 

 doubles, tangents aux points a, b k la surface fonda- 

 mentale et en une surface B du 4™° ordre. 



Les deux systèmes des droites de la surface L se 

 transforment en deux systèmes des coniques qui dé- 

 terminent la nature de la surface B. Nous pouvons 

 distinguer 4 espèces de cette surface. 



Sur la surface B se trouve un groupe d'ellipses, un 

 groupe d'hyperboles et 4 paraboles de chaque système 

 des coniques ; nous allons appeler cette surface un 

 hyperbole-ellipsoïde parabolique. 



Les coniques d'un système font un groupe d'ellipses 

 et une seule parabole; la surface s'appelle ellipsoïde 

 parabolique. 



Toutes les coniques de chaque système sont de pa- 

 raboles; la surface B est un paraboloïde du 4""^ ordre. 



Toutes les coniques de chaque système fout un 

 groupe d'ellipses; la surface B est un ellipsoïde du 

 4'"" ordre. 



La surface L coupe la courbe P en 4 points réels. 

 Ces points fournissent 12 droites sur la surface B. 



En réunissant toutes les jjropriétés de la surface 

 B nous pouvons énoncer ce théorème: 



La courbe d'intersection de la surface L avec la sur- 

 face fondamentale F est une courbe simple de la sur- 

 face dérivée B, et la conique P est une courbe double 

 de cette surface. Le pôle p du plan P est un point 

 double de B. 



Sur la surface B se trouvent deux systèmes de co- 

 niques qui passent toutes par le pôle du plan P. Les 

 coniques A d'un système se coupent, en général, seule- 

 ment au point p, et une conique A d'un système coupe 

 toutes les coniques B de l'autre système. 



