BULLETIN 



DE L'ACiUlEilK lillPElUALE DES SCIENCES DE ST.-PÉTEIISBOUKG. 



Démonstration de quelques propositions relatives à la 

 fonction numérique E{x}^} ParV. Bouniakowsky. 



(Lu k" 10 mai 1883.) 



Article 2\ 



Dans le f Article du présent Opuscule j'ai traité 

 certaines questions qui se rapportaient à la fonction 

 numérique E, affectant les racines carrées des mul- 

 tiples successifs d'un nombre premier de la forme 

 p = 4ii -+- 1. Dans ce 2'^ Article je m'occuperai de 

 questions analogues relatives aux noml)rcs premiers 

 2 = 4^i -H- 3. On verra plus bas que les formules de 

 cette seconde catégorie se présentent sous une forme 

 relativement moins simple que colles de la première, 

 et cela à cause de ce que les sommes des résidus qua- 

 dratiques et non-quadratiques, égales dans le cas de 

 2) = an -h- 1 , ont des valeurs différentes pour les 

 nombres premiers g = 4»^ h- 3. 



L'analyse, dont j'ai fait usage dans V Article V\ 

 s'applique avec de légères modifications au cas de 

 2 = 4m -4- 3; pour ne pas me répéter, j'omettrai ici 

 quelques détails, que l'on trouvera dans V Article cité. 



Je commence par clicrclicr l'expression de la somme 



VEVfjig**) (1) 



1X=1 



pour q de la forme in h- 3. Les ^-^ résidus qua- 

 dratiques r de q=^ 4n-i- d peuvent être représentés, 

 comm(> on sait, par les différences 



m" — [xq = r, 



[j. étant déterminé de manière à ce que toutes les va- 

 leurs de r soient positives et inférieures à q. Ces 

 "—^ résidus se trouveront compris dans la suite 



*) Bulletin de VAcwUiiiie, T. XXVllI. 



**) Les limites de la somme 1, dans tout ce (jui suivra, seront 

 supposées, comme dans V Article 1^^, toutes deux inclusives. 

 Tome XXVIII. 



12 3 



(i 



1 



et les 



-r-i 



nombres restants seront les non-résidus 



de q, représentés par les différences 

 \i.q — u^ = r. 



Cela posé, foi-mons les ^— équations de la forme 



u" — \x.q — r = 0, (2) 



dans lesquelles u reçoit successivement les ^^ valeurs 



1 9 3 ^^^ 



et [). les suivantes: 0, 1, 2, 3 jusqu'à la valeur 



[1-0 qui correspond à m ^ ^^, et qu'on trouvera égale 



h u = '^~— en combinant l'équation 



(s^r 



[-'•oî 



_r = 



avec les deux conditions r > et r <Cq; on aura 

 donc les deux inégalités 



{'^'^~)'-M>0 et {^''-~1J-M<<1, 

 et par suite les suivantes: 



Substituant 4w -h 3 k q, on trouve 



n-i- 1 



l'-û<'^ 



4» ■ 



et \>.o>n — 



3» -1-2 

 4» -1-3' 



d'où l'on conclut, comme il vient d'être dit, 



q-3 



Je reviens aux ^-=^ équations (2), contenues dans 

 la table suivante, dans laquelle, pour plus de simplicité 

 de l'écriture, j'ai conservé la notation r pour tous 

 les résidus quadratiques à commencer par le second 

 groupe : 



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