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BCiilletiii de l*/&cadéiiiie Impériale 



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Table 1^'^ 



JbJijuidioiis: 



V—O.q—1 == 



2^ — 0.2 — 4 = 



3-— 0.(/ — 9 = U 



{EVqf —0.2 — (EVqf = 

 (jBVî-t- lf—l.q — r = 

 {EVq -+- 2)2 — 1 . g — r = 



{EV2qf— l.q~r = 

 {EV2q-^ lf—2.q — r = 

 {EV2q -t-2f—2.q— r = 



Nombre des équations: 



EVq 



EV2q — EVq 



qui correspondent aux deux dernières équations de 

 cette Table, est égale à Vnniié. En effet, en rempla- 

 çant q par 4w -4- 3, on trouve 



: < 2n 



-E]/-7 ' q = Ey^fi" — w - 



> ou = 2w — 1 



2-5 



o > 



< 2n-»- 1 



Vi-2 = ^4^^-*-^->ou 



d'oii^|/^f/ 



2w' 



2W: 





?/^ 



7« 



< 2« ■ 



(EV3qf — 2.q — r = 



iVSfZ — EV2q 



{'^j-'^--^~r-o...Ey^q-Ey^. 



Remarquons que dans ces 



équations , dans 



lesquelles le plus haut multiple de q est égal à 



2-3 



4 ' 



cliacun des carrés de la suite 1", 2", 3". . 



n'entre qu'une seule fois; en effet, si l'on admettait 



l'existance simultanée de deux équations telles que 



îr- 



. [JL3 — r = et ît/' — (iJ- -»- 1 ) ï • 



0, 



on en déduirait l'égalité r = g h- r, évidemment im- 

 possible ]iar la raison que r doit être inférieur à q. 

 Au contraire, comme nous le verrons plus bas, jiour 

 des multiples de q, compris entre les limites ^-^ et 

 q — 1, exclusivement, il existe nécessairement des 

 équations dans lesquelles certains carrés se trouvent 

 répétés. 



De plus observons que chacune des différences 



Ey^ q - Ey^q et sy^- q - Ey^ , 



p2 = ^^/4^2-..„.^^^^_,„_^l, 



d'où Ey^:' q = 2n h-- l = 5^. 



Substituant dans les deux différences ces résultats, 

 on verra que chacune d'elles se réduit à Vmiité. 



Additionnons actuellement les —^ équations de la 

 Tahlc 1''" ; leur somme contiendra trois sortes de 

 termes: 1" la somme C des carrés des nombres natu- 

 rels de 1 à ~~; 2° la somme 3Iq des différents mul- 

 tiples de 1 à ^-^-^ du nombre premier q; 3° la somme 

 R des ^^^ résidus quadratiques de q. On aura donc 



G—Mq — B := 0. 



Cherchons d'abord l'expression de M; pour cela 

 observons qu'aux valeurs des coefficients 



1 2 g~° 



qui entrent dans les groupes successifs des équations 

 de la Tahlc 1"\ correspondent les différences 



EV'q, EVTq — EVq, EV^—Ey2q... 



...Ey^^i-Ey^i: 



or, comme ces différences déterminent le nombre des 



équations contenues dans chaque groupe , on aura 



visiblement 



M= {EV'2q — EVq) -H 2 {EV^— EV2q) -t- 



-.3{EV4q~EV3q)-....^{Ey^-Ey'^qy 



^Evr-*- j^y^'i -+- j^y^^i ■+-■■-+- ^y^ i\' 



