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d«s Sciences de Saint -Pt^iershoiirg. 



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Oljscrvons (jue l'exprossiou, comprise entre les pcV 

 renthèses carrées, est précisément la somme cherchée 

 (1); par conséquent 



^='^ 



u.= 1 



et comme l'on a 



^ — — 24 — ' ^y^~(i = ~Y~^ 



on obtiendra définitivement 



7-3 





(3) 



Soit, par exemple, g=: 23; on a par cette formule 



(jt = 5 



2 EV23^ = 33 H_ |. 



Additionnant les onze résidus quadratiqties de (/ = 23, 

 nommément 



1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 13, IG et 18, 

 on trouve 72= 92 = 4.23, et par conséquent 



[ji. = 5 



2 ^VSSix = 33 -H 4 = 37, 



|X=1 



comme le donne le calcul direct que voici : 



.Ey 23 -H ^1/2:2 3 H- ^y 3". 23 -H EVi:2^ -H EVbM 



= 4 -H 6 -t- 8 -t- 9 H- 10 =:: 37. 



Si l'on représente par W la somme des résidus 

 non-quadratiques de g = 4n -f- 3, on aura 



Cherchons niiiintenant l'expression do la somme 

 ii = (if— 1 



y EVm 



(5) 





qui, ajoutée à la somme (3), doiniera la valeur de 



2 EViLq. 



(«) 



a 



-z — 1 B' , 



^ à cause de R-+-R' =: '^-^^~^, 



et la formule (3) deviendra 



v-= 



'1-3 



Faisons voir d'ahord, que le nombre des équations 

 (2) qui suivent celles de la Table 1"'% jusqu'à la va- 

 leur [}. = q — 2 , qui correspond au ^ q — 1 , est 

 égal à -^-^- En eâ'ct, la première des nouvelles 

 équations est visiblement 



dans laquelle r est égal au résidu quadratique ^^, 

 et la dernière la suivante: 



W— 1)= -iq—2)q-l= 0; 

 donc le nombre cherché d'équation sera 



3 — 3 32 — 5 



(2-2). 



4 



3^ — 5 



La série de ces -^ — équations, qui commence par 



0, 





(4) 



î H- l\2 (7-1-1 



— ^q — r 



se termine par les trois suivantes: 



{q-2f-{q-4)q—4 = 0, 

 ((2 — 2)^ - (q — 3) g H- {q — 4) = 0) *, 

 (2-lf — (2— 2)?-l = 0, 



dont l'avant dernière, renfermée entre parenthèses, et 

 marquée d'un astérisque, a pour dernier terme le 

 résidu non-quadratique 2 — 4, ima positivement; de 

 plus, elle contient le carré (q — 2)- qui entre égale- 

 ment dans l'équation précédente; par conséquent elle 

 différera essentiellement de la forme (2). 



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