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Bulletin de rAcadéinie Impériale 



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Sur cette totalité 



■n- 



d'équations le nombre de 



celles que nous appelerons iwoprcs^ c.-à-d. d'équations 

 qui contiennent des carrés tous différents entr'cux, 

 et qui, de plus, ont pour derniers termes des résidus 

 quadratiques négatifs, sera égal à 



Pour le faire voir il suffit de prouver (juc deux 

 équations (jui contiennent le même multiple ^q de q, 

 nommément 



M- 



et (m -I- 1 )" — \u^ — r-j = 



sont incompatibles entr'elles pour des valeurs de u 

 supérieures à — I7-; cela se voit de suite en obsei-vant 

 que de ces deux équations on tire l'égalité 



2« -!- 1 ^ »"i — r 



qui, avec la condition 



n > ^-Tj—, ou bien 2m -+- 1 > q, 



conduit au résultat impossible r^ — r > q. 

 Les équations restantes, au nombre de 



32 — 5 



g-i 



2 



4 2 4 ' 



que nous appelerons impropres, auront pour derniers 

 termes des résidtis non- quadratiques positifs et, de 

 plus, contiendront des carrés, déjà contenus dans les 

 équations propres qui les précèdent immédiatement. 

 Le rôle de ces équations est d'introduire dans le ré- 

 sultat final du calcul la condition de Végalité des deux 

 expressions EV\uq et EV{^-i- \)q pour certaines va- 

 leurs de jj. qui, comme nous venons de le voir, sont 



au nombre de 



2-3 



Soient, en effet, les trois équations consécutives 

 suivantes, dont les deux extrêmes sont ^ro^jrf s, et la 

 moyenne impropre, comme contenant le môme carré 

 M^ que la première: 



u^ — {ij.— \)q — r, = 0, {u^ — M-*-(l—r\ = Of, 

 (m-4-1)' — (.1x H- !)(/ — /•„ = 0. 



Tl est facile de voir que ces équations donnent 



u — 



La première EV{y- — 1)2 



La seconde EV^q = u 



La troisième EV{^ -+- \)q 



u, 



et par conséquent 



EVi]}. -+-l)q — EVixq = 



Ci) 



De là on conclut, que chaque équation impropre 

 fournit pour l'entier compris dans la racine carrée de 

 son multiple \i.q, le même nombre que celui qui se 

 rapporte au multiple (iJL-t-l)^ de l'équation propre 

 qui la suit immédiatement. 



De ce qui précède il résulte qu'en multipliant clia- 



cune de nos ^ - k" ^ équations par la différence 



EV{^ -^ \)q— EV^q , 



qui lui correspond, les équations propres, pour les- 

 quelles toutes ces différences se réduisent à Vunité, 

 resteront sans aucun changement; quant aux équa- 

 tions impropres, les carrés et les résidus non-quadra- 

 tiques qu'elles contiennent disparaîtront après la mul- 

 tiplication; mais nous conserverons leurs termes moyens 

 — ]yq, multipliés chacun par la différence (7) qui lui 

 correspond, et cela pour donner plus de symétrie 

 aux formules ultérieures en y introduisant les entiers 

 EVm pour toutes les ^-^ valeurs de [x. 



Passons maintenant à la détermination de l'exprcs- 



équa- 



H- 



sion (5). Formons la table suivante des 



tions dont il vient d'être question, table qui servira 



de continuation à la première: 



Table 2"'=. 



Équations: Nombre (les équiiUnns: 



'Pj~'i^^-r = 0. . . Ey^'cq^E^^q 

 'i^J- 1' 2~r=^0... El/'^q-Ey^^i 

 "Tl-^î-î-'-^ 0. . . E]/^q^E]/^q 



((/-2)--(2-4)g-4 = 0. . . EV{q-3)q-~Eyiq-4)q 



((q-2)--(q-3)q-^[q- 4)=0)*.. EViq-2)q-EViq-d)q 



('/-!)'-('/ -2) r/-l =n. . . EV(q-l)q-EV{q-2)q. 



