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des Seit'iict'S de Saiiif- Pëtershoiir;». 



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Représentant, comme plus haut, par Mq la somme 

 de tous les multiples de j, contenus dans cette Table, 

 on aura, après avoir multiplié ses '"'^ ~ ''' équations par 

 les différences qui leur correspondent. 



Additionnons maintenant les carrés et les résidus 

 quadratiques qui entrent dans les équations propres de 

 la Table précédente, et retranchons de cette somme 

 l'expression de Mq; nous obtiendrons, après avoir di- 

 visé tous les termes par le facteur commun q: 





U" 





observant de plus que la quantité, comprise entre les 

 parenthèses carrées , diffère de l'expression (5) par 

 les deux termes 



L'addition des deux formules (3) et (8) donne 



(1=1 



li 



2B 



, (9) 



et l'élimination de - entre ces deux mêmes formules 

 conduit à la relation suivante, très simple, entre les 

 sommes (8) et (9): 



" ^EVm-^'eVm = '^K^- ■ ■ ■ (10) 



, c/H-1 



y.= l 



Si l'on introduit dans les formules (8) et (9) la 

 somme B' des non-résidus de q h, \a place de R, on 

 obtiendra, en vertu de la relation 



Y^' 



■q et EV{q~l)q 

 qui lui manquent, on aura, après leur restitution, 



2 



.? + l 



Enfin, en vertu des égalités 



(q-l)EV(^=ï)q = Ul~lf et ^^^r = (^=l^f2l±) 



i±i 



2 



l'équation précédente, toute réduction faite, fournira 

 les deux expressions suivantes de la somme (5): 



B 



<1 



g-1 



2 



R' 



les égalités 



" ^eVm = ^'-'T'^'' -^ (Il) 



, î+i 





• (12) 



Appliquons les deux formules (8) et (9) au nombre 

 premier 2= 23; observant que —^=4, on trouve les 

 valeurs suivantes pour les deux sommes: 



(1 = 22 



^EV23^ = ''■''' 



(1 = 



12 



H = 22 



yEV23^ = 

 (1 = 1 



22.87 



290, 



8 = 327. 



(i = (2— 1 ç — 1 



ti = 



î n 



7+1 



R^iq-n (7? -5) 

 1 



■R 



12 



..(8) 



Pour éclaircir encore davantage notre exposition, 

 présentons la petite table numérique suivante, rela- 

 tive au cas de la formule (8) pour le même nombre 

 premier ^ = 23: 



